Question

11．已知f（x）是R上的奇函數(shù)，當x＞0時，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{|x-1|}-1，0＜x≤2}\\{\frac{1}{2}f（x-2），x＞2}\end{array}\right.$，則函數(shù)g（x）=xf（x）-1在[-6，+∞）上的所有零點之和為（　�。�

• A． 7
• B． 8
• C． 9
• D． 10

Answer 1

分析 由已知可分析出函數(shù)g（x）是偶函數(shù)，則其零點必然關(guān)于原點對稱，故g（x）在[-6，6]上所有的零點的和為0，則函數(shù)g（x）在[-6，+∞）上所有的零點的和，即函數(shù)g（x）在（6，+∞）上所有的零點之和，求出（6，+∞）上所有零點，可得答案．

解答 解：∵函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，
∴f（-x）=-f（x）．
又∵函數(shù)g（x）=xf（x）-1，
∴g（-x）=（-x）f（-x）-1=（-x）[-f（x）]-1=xf（x）-1=g（x），
∴函數(shù)g（x）是偶函數(shù)，
∴函數(shù)g（x）的零點都是以相反數(shù)的形式成對出現(xiàn)的．
∴函數(shù)g（x）在[-6，6]上所有的零點的和為0，
∴函數(shù)g（x）在[-6，+∞）上所有的零點的和，即函數(shù)g（x）在（6，+∞）上所有的零點之和．
由0＜x≤2時，f（x）=2^|x-1|-1，故有f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{1-x}，0＜x≤1}\\{{2}^{x-1}，1＜x≤2}\\{\frac{1}{2}f（x-2），x＞2}\end{array}\right.$，
∴函數(shù)f（x）在（0，2]上的值域為[0，1]，當且僅當x=2時，f（x）=1．
又∵當x＞2時，f（x）=$\frac{1}{2}$f（x-2），
∴函數(shù)f（x）在（2，4]上的值域為[$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$]，
函數(shù)f（x）在（4，6]上的值域為[$\frac{1}{8}$，$\frac{1}{4}$]，
函數(shù)f（x）在（6，8]上的值域為[$\frac{1}{16}$，$\frac{1}{8}$]，當且僅當x=8時，f（x）=$\frac{1}{8}$，
函數(shù)f（x）在（8，10]上的值域為[$\frac{1}{32}$，$\frac{1}{16}$]，當且僅當x=10時，f（x）=$\frac{1}{16}$，
故f（x）＜$\frac{1}{x}$在（8，10]上恒成立，g（x）=xf（x）-1在（8，10]上無零點，
同理g（x）=xf（x）-1在（10，12]上無零點，
依此類推，函數(shù)g（x）在（8，+∞）無零點．
綜上函數(shù)g（x）=xf（x）-1在[-6，+∞）上的所有零點之和為8，
故選：B．

點評 本題考查的知識點是函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的零點，函數(shù)的圖象和性質(zhì)，其中在尋找（6，+∞）上零點個數(shù)時，難度較大，故可以用歸納猜想的方法進行處理．