分析 ①通過A>B,利用正弦定理,推出sinA>sinB.②由A>B,通過余弦函數的單調性可得cosA<cosB;③由A>B通過舉反例說明sin2A>sin2B不正確即可;④由A>B,通過正弦定理以及同角三角函數的基本關系式,以及二倍角的余弦函數推出cos2A<cos2B.
解答 解:由①,∵A>B,則a>b,利用正弦定理可得 a=2rsinA,b=2rsinB,故sinA>sinB.故①正確;
由②,A>B,△ABC中,A、B∈(0,π),余弦函數是減函數,所以cosA<cosB,故②正確;
對于③,例如A=60°,B=45°,滿足A>B,但不滿足sin2A=$\frac{\sqrt{3}}{2}$,sin2B=1,所以sin2A>sin2B,③不正確;
對于④,因為在△ABC中,A>B,所以a>b,利用正弦定理可得a=2rsinA,b=2rsinB,故sinA>sinB>0,所以
sin2A>sin2B,可得 1-2sin2A<1-2sin2B,由二倍角公式可得:cos2A<cos2B,故④正確.
故答案為:③.
點評 本題考查正弦函數的單調性,正弦定理,同角三角函數的基本關系,三角形中有大角對大邊,將命題轉化是解題的關鍵.
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