Question

1．已知等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且a₂=5，S₉=99．
（1）求a_n 及S_n；
（2）若數(shù)列{$\frac{4}{{{a}_{n}}^{2}-1}$}的前n項(xiàng)和T_n，試證明不等式$\frac{1}{2}$≤T_n＜1成立．

Answer 1

分析 （1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，運(yùn)用通項(xiàng)公式和求和公式，列方程，即可解得首項(xiàng)和公差，進(jìn)而得到通項(xiàng)和求和；
（2）化簡(jiǎn)數(shù)列b_n=$\frac{4}{{{a}_{n}}^{2}-1}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，運(yùn)用相互抵消求和可得T_n，再由數(shù)列的單調(diào)性和不等式的性質(zhì)，即可得證．

解答 解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，
∵a₂=5，S₉=99．∴a₁+d=5，9a₁+$\frac{9×8}{2}$d=99，
解得a₁=3，d=2，
∴a_n=3+2（n-1）=2n+1，S_n=3n+$\frac{1}{2}$n（n-1）•2=n²+2n；           
（2）證明：設(shè)b_n=$\frac{4}{{{a}_{n}}^{2}-1}$，∵a_n=2n+1，∴a_n²-1=4n（n+1），
∴b_n=$\frac{4}{4n（n+1）}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
即有T_n=b₁+b2+b₃+…+b_n=（1-$\frac{1}{2}$）+（$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$）+（$\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$）+…+（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）
=1-$\frac{1}{n+1}$＜1，
又T_n=1-$\frac{1}{n+1}$為遞增數(shù)列，即有T_n≥T₁=1-$\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$，
綜上所述：不等式$\frac{1}{2}$≤T_n＜1成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式的運(yùn)用，同時(shí)考查數(shù)列的求和方法：裂項(xiàng)相消求和，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．