Question

15．在直角坐標(biāo)系xOy中，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系．已知曲線C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=-4+cost}\\{y=3+sint}\end{array}\right.$ （t為參數(shù)），C₂：$\left\{\begin{array}{l}{x=8cosθ}\\{y=3sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)）．
（Ⅰ）化C₁，C₂的方程為普通方程，并說(shuō)明它們分別表示什么曲線；
（Ⅱ）若C₁上的點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的參數(shù)為t=$\frac{π}{2}$，Q為C₂上的動(dòng)點(diǎn)，求PQ中點(diǎn)M到直線C₃：ρ（cosθ-2sinθ）=7距離的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）曲線C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=-4+cost}\\{y=3+sint}\end{array}\right.$ （t為參數(shù)），利用sin²t+cos²t=1即可化為普通方程；C₂：$\left\{\begin{array}{l}{x=8cosθ}\\{y=3sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），利用cos²θ+sin²θ=1化為普通方程．
（Ⅱ）當(dāng)t=$\frac{π}{2}$時(shí)，P（-4，4），Q（8cosθ，3sinθ），故M$（-2+cosθ，2+\frac{3}{2}sinθ）$，直線C₃：ρ（cosθ-2sinθ）=7化為x-2y=7，利用點(diǎn)到直線的距離公式與三角函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答 解：（Ⅰ）曲線C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=-4+cost}\\{y=3+sint}\end{array}\right.$ （t為參數(shù)），化為（x+4）²+（y-3）²=1，
∴C₁為圓心是（-4，3），半徑是1的圓．
C₂：$\left\{\begin{array}{l}{x=8cosθ}\\{y=3sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），化為$\frac{{x}^{2}}{64}+\frac{{y}^{2}}{9}=1$．
C₂為中心是坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，長(zhǎng)半軸長(zhǎng)是8，短半軸長(zhǎng)是3的橢圓．
（Ⅱ）當(dāng)t=$\frac{π}{2}$時(shí)，P（-4，4），Q（8cosθ，3sinθ），故M$（-2+4cosθ，2+\frac{3}{2}sinθ）$，
直線C₃：ρ（cosθ-2sinθ）=7化為x-2y=7，
M到C₃的距離d=$\frac{\sqrt{5}}{5}|4cosθ-3sinθ-13|$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$|5sin（θ+φ）-13|，
從而當(dāng)cosθsinθ=$\frac{4}{5}$，sinθ=-$\frac{3}{5}$時(shí)，d取得最小值$\frac{8\sqrt{5}}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了參數(shù)方程化為普通方程、點(diǎn)到直線的距離公式公式、三角函數(shù)的單調(diào)性、橢圓與圓的參數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)方程，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．