Question

5．已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）與拋物線y²=4x有一個(gè)公共的焦點(diǎn)F，且兩曲線的一個(gè)交點(diǎn)為P．若|PF|=$\frac{5}{2}$，則雙曲線的漸近線方程為（　�。�

• A． y=±$\frac{1}{2}$x
• B． y=±2x
• C． y=±$\sqrt{3}$x
• D． y=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$x

Answer 1

分析 根據(jù)拋物線和雙曲線有相同的焦點(diǎn)求得p和c的關(guān)系，根據(jù)拋物線的定義可以求出P的坐標(biāo)，代入雙曲線方程與p=2c，b²=c²-a²，解得a，b，得到漸近線方程．

解答 解：∵拋物線y²=4x的焦點(diǎn)坐標(biāo)F（1，0），p=2，
拋物線的焦點(diǎn)和雙曲線的焦點(diǎn)相同，
∴p=2c，即c=1，
∵設(shè)P（m，n），由拋物線定義知：
|PF|=m+$\frac{p}{2}$=m+1=$\frac{5}{2}$，∴m=$\frac{3}{2}$．
∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為（$\frac{3}{2}$，±$\sqrt{6}$）
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}+^{2}=1}\\{\frac{9}{4{a}^{2}}-\frac{6}{^{2}}=1}\end{array}\right.$解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{2}}\\{b=\frac{\sqrt{3}}{2}}\end{array}\right.$，
則漸近線方程為y=±$\sqrt{3}$x，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了雙曲線，拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．考查了學(xué)生綜合分析問題和基本的運(yùn)算能力．解答關(guān)鍵是利用性質(zhì)列出方程組．