Question

10．如圖，已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，以橢圓C的左頂點(diǎn)T為圓心作圓T：（x+2）²+y²=r²（r＞0），設(shè)圓T與橢圓C交于點(diǎn)M與點(diǎn)N．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)點(diǎn)P是橢圓C上異于M，N的任意一點(diǎn)，且直線MP，NP分別與x軸交于點(diǎn)R，S，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求|OR|+|OS|的最小值．

Answer 1

分析 （1）由題意可得a=2，運(yùn)用離心率公式和a，b，c的關(guān)系，可得b，進(jìn)而得到橢圓方程；
（2）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），P（x₀，y₀），求得直線MP，NP的方程，令y=0，求得點(diǎn)R，S的橫坐標(biāo)，結(jié)合M，P滿足橢圓方程，求得R，S的橫坐標(biāo)之積，再由基本不等式即可得到最小值．

解答 解：（1）依題意，得a=2，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴c=$\sqrt{3}$，b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=1；
故橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1．
（2）點(diǎn)M與點(diǎn)N關(guān)于x軸對(duì)稱，設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），P（x₀，y₀）
則直線MP的方程為：y-y₀=$\frac{{y}_{0}-{y}_{1}}{{x}_{0}-{x}_{1}}$（x-x₀），
令y=0，得x_R=$\frac{{x}_{1}{y}_{0}-{x}_{0}{y}_{1}}{{y}_{0}-{y}_{1}}$，同理：x_S=$\frac{{x}_{1}{y}_{0}+{x}_{0}{y}_{1}}{{y}_{0}+{y}_{1}}$，
故x_Rx_S=$\frac{{{x}_{1}}^{2}{{y}_{0}}^{2}-{{x}_{0}}^{2}{{y}_{1}}^{2}}{{{y}_{0}}^{2}-{{y}_{1}}^{2}}$ （**） 
又點(diǎn)M與點(diǎn)P在橢圓上，故x₀²=4（1-y₀²），x₁²=4（1-y₁²），
代入（**）式，得：
x_Rx_S=$\frac{4（1-{{y}_{1}}^{2}）{{y}_{0}}^{2}-4（1-{{y}_{0}}^{2}）{{y}_{1}}^{2}}{{{y}_{0}}^{2}-{{y}_{1}}^{2}}$=$\frac{4（{{y}_{0}}^{2}-{{y}_{1}}^{2}）}{{{y}_{0}}^{2}-{{y}_{1}}^{2}}$=4
所以|OR|•|OS|=|x_R|•|x_S|=|x_R•x_S|=4，
|OR|+|OS|≥2$\sqrt{|OR|•|OS|}$=4，
當(dāng)且僅當(dāng)|OR|=|OS|=2，取得等號(hào)．
則|OR|+|OS|的最小值為4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，主要考查離心率和方程的運(yùn)用，注意點(diǎn)滿足橢圓方程，同時(shí)考查基本不等式的運(yùn)用，具有一定的運(yùn)算量，屬于中檔題．