Question

7．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左右焦點分別是F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），直線l的方程是x=4，點P是橢圓C上動點（不在x軸上），過點F₂作直線PF₂的垂線交直線l于點Q，當(dāng)PF₁垂直x軸時，點Q的坐標(biāo)是（4，4）．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）判斷點P運動時，直線PQ與橢圓C的公共點個數(shù)，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知得c=1，當(dāng)PF₁⊥x軸時，點$P（-1，\frac{b^2}{a}）$，利用$\overrightarrow{{F_2}P}•\overrightarrow{{F_2}Q}=0$，及其b²=a²-1，解出即可．
（II）設(shè)點P（x₀，y₀），代入橢圓方程可得${y}_{0}^{2}=3-\frac{3}{4}{x}_{0}^{2}$，設(shè)點Q（4，t），利用$\overrightarrow{{F_2}P}•\overrightarrow{{F_2}Q}=0$，可得直線PQ的方程，代入橢圓方程，計算△與0比較即可得出．

解答 解：（Ⅰ）由已知得c=1，當(dāng)PF₁⊥x軸時，點$P（-1，\frac{b^2}{a}）$，
由$\overrightarrow{{F_2}P}•\overrightarrow{{F_2}Q}=0$，
∴$（-2）（4-1）+4\frac{b^2}{a}=0$，
∴2b²-3a=0，b²=a²-1，
∴2a²-3a-2=0，
解得a=2，$b=\sqrt{3}$，
∴橢圓C的方程是$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$；
（Ⅱ）設(shè)點P（x₀，y₀），
則$\frac{{x}_{0}^{2}}{4}+\frac{{y}_{0}^{2}}{3}=1$，化為${y}_{0}^{2}=3-\frac{3}{4}{x}_{0}^{2}$，
設(shè)點Q（4，t），
由$\overrightarrow{{F_2}P}•\overrightarrow{{F_2}Q}=0$得：（x₀-1）（4-1）+y₀t=0，
∴$t=\frac{{-3（{x_0}-1）}}{y_0}$，
∴直線PQ的方程為：$\frac{{y+\frac{{3（{x_0}-1）}}{y_0}}}{{{y_0}+\frac{{3（{x_0}-1）}}{y_0}}}=\frac{x-4}{{{x_0}-4}}$，
即${y_0}y+3（{x_0}-1）=\frac{x-4}{{{x_0}-4}}[{y_0}^2+3（{x_0}-1）]$，
即${y_0}y+3（{x_0}-1）=\frac{x-4}{{{x_0}-4}}[3-\frac{3}{4}{x_0}^2+3（{x_0}-1）]$，
化簡得：$\frac{{{x_0}x}}{4}+\frac{{{y_0}y}}{3}=1$，
代入橢圓方程得：$（4{y_0}^2+3{x_0}^2）{x^2}-24{x_0}x+48-16{y_0}^2=0$，
化簡得：${x^2}-2{x_0}x+4-\frac{4}{3}{y_0}^2=0$，
判別式△=$16（\frac{{{x_0}^2}}{4}+\frac{{{y_0}^2}}{3}-1）=0$，
∴直線PQ與橢圓有一個公共點．

點評 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到△與0 的關(guān)系、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．