Question

16．已知函數(shù)f（x）=$\sqrt{3}$sin（2ωx-$\frac{π}{3}$）+$\frac{3}{2}$+t圖象中，對稱中心到對稱軸的最小距離為$\frac{π}{4}$，且當(dāng)x∈[0，$\frac{π}{3}$]時，f（x）的最大值為1．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間和對稱軸．

Answer 1

分析 （1）首先利用函數(shù)的周期和函數(shù)在定義域內(nèi)的最值求出函數(shù)的解析式．
（2）利用所求的解析式，進(jìn)一步利用整體思想求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和對稱軸方程．

解答 解：（1）f（x）=$\sqrt{3}$sin（2ωx-$\frac{π}{3}$）+$\frac{3}{2}$+t圖象中，對稱中心到對稱軸的最小距離為$\frac{π}{4}$，
則：$T=4×\frac{π}{4}=π$，
進(jìn)一步利用：$T=\frac{2π}{2ω}$，
解得：ω=1．
所以函數(shù)的關(guān)系式轉(zhuǎn)化成：f（x）=$\sqrt{3}$sin（2x-$\frac{π}{3}$）+$\frac{3}{2}$+t，
當(dāng)x∈[0，$\frac{π}{3}$]時，則：$-\frac{π}{3}≤2x-\frac{π}{3}≤\frac{π}{3}$，
當(dāng)x=$\frac{π}{3}$時，函數(shù)sin（2x-$\frac{π}{3}$）的最大值為$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
由于f（x）的最大值為1．
解得：t=-2．
所以函數(shù)的解析式為：f（x）=$\sqrt{3}$sin（2x-$\frac{π}{3}$）-$\frac{1}{2}$，
（2）由（1）得：f（x）=$\sqrt{3}$sin（2x-$\frac{π}{3}$）-$\frac{1}{2}$，
令：$-\frac{π}{2}+2kπ≤2x-\frac{π}{3}≤$$2kπ+\frac{π}{2}$（k∈Z）
解得：$-\frac{π}{12}+kπ≤x≤$$kπ+\frac{5π}{12}$
則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為：[$-\frac{π}{12}+kπ，kπ+\frac{5π}{12}$]（k∈Z）
令：$2x-\frac{π}{3}=kπ+\frac{π}{2}$（k∈Z）
解得：$x=\frac{kπ}{2}+\frac{5π}{12}$（k∈Z）
則對稱軸方程為：$x=\frac{kπ}{2}+\frac{5π}{12}$（k∈Z）

點評 本題考查的知識要點：三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，利用函數(shù)的周期求函數(shù)的解析式，及正弦型函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，單調(diào)性和對稱軸方程的應(yīng)用．