Question

19．定義：f₁（x）=f（x），當n≥2且n∈N^*時，f_n（x）=f（f_n-1（x）），對于函數f（x）定義域內的x₀，若存在正整數n是使得f_n（x₀）=x₀成立的最小正整數，則稱n是點x₀的最小正周期，x₀稱為f（x）的n-周期點．已知定義在[0，1]上的函數f（x）的圖象如圖，對于函數f（x），下列說法正確的是②③⑤（寫出你認為正確的所有命題的序號）
①0是函數f（x）的一個5-周期點； 
②3是點$\frac{1}{2}$的最小正周期；
③對于任意正整數n，都有${f_n}（\frac{2}{3}）=\frac{2}{3}$；
④若x₀是f（x）的一個2-周期點，則${x_0}∈（\frac{1}{2}，1]$
⑤若x₀是f（x）的一個2-周期點，則f（x₀）一點是f（x）的2-周期點．

Answer 1

分析 由圖象可得函數的解析式為f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x+\frac{1}{2}，（0≤x≤\frac{1}{2}）}\\{-2x+2，（\frac{1}{2}≤x≤1）}\end{array}\right.$，再根據所給的定義解題

解答 解：由圖象可得函數的解析式為f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x+\frac{1}{2}，（0≤x≤\frac{1}{2}）}\\{-2x+2，（\frac{1}{2}≤x≤1）}\end{array}\right.$，
①f₁（0）=f（0）=$\frac{1}{2}$，則f₂（0）=f（f₁（0））=f（f（0））=f（$\frac{1}{2}$）=1，f₃（0）=f（f₂（0））=f（1）=0，
f₄（0）=f（f₃（0））=f（0）=$\frac{1}{2}$，f₅（0）=f（f₄（0））=f（$\frac{1}{2}$）=1≠0，故0不是函數f（x）的一個5-周期點，①錯誤；
②f₁（$\frac{1}{2}$）=f（$\frac{1}{2}$）=1，則f₂（$\frac{1}{2}$）=f（f₁（$\frac{1}{2}$））=f（1）=0，f₃（$\frac{1}{2}$）=f（f₂（$\frac{1}{2}$））=f（0）=$\frac{1}{2}$，∴3是點$\frac{1}{2}$的最小正周期，故②正確；
③∵f（$\frac{2}{3}$）=-2×$\frac{2}{3}$+2=$\frac{2}{3}$，∴${f_n}（\frac{2}{3}）=\frac{2}{3}$；故③正確；
④若x₀是f（x）的一個2-周期點，則f₂（x₀）=f（f₁（x₀）），若$\frac{1}{2}$＜x₀≤1，則f₁（x₀）=-2x₀+2∈（1，2]，
則f（f₁（x₀））無意義，故④錯誤；
⑤若x₀是f（x）的一個2-周期點，則f₂（x₀）=x₀，∴f₂（x₀）=f（f₁（x₀））=f（f（x₀））=x₀，
∴f₂（f（x₀））=f（f₁（f（x₀）））=f（f（f（x₀）））=f（x₀），
∴f（x₀）是f（x）的2-周期點．故⑤正確；
綜上②③⑤正確，
故答案為：②③⑤

點評 本題主要考查新定義的題目，解答的關鍵是讀懂所給的定義，用定義解決．