Question

16．已知三個正數(shù)a，b，c滿足a≤b+c≤3a，3b²≤a（a+c）≤5b²，則$\frac{b-2c}{a}$的最小值是（　�。�

• A． -$\frac{18}{5}$
• B． -3
• C． 0
• D． 不存在

Answer 1

分析 將不等式組進(jìn)行轉(zhuǎn)化，設(shè)$\frac{a}$=x，$\frac{c}{a}$=y，利用線性規(guī)劃的知識進(jìn)行求解即可．

解答 解：不等式a≤b+c≤3a，3b²≤a（a+c）≤5b²，
等價為1≤$\frac{a}$+$\frac{c}{a}$≤3，3（$\frac{a}$）²≤1+$\frac{c}{a}$≤5（$\frac{a}$）²，
設(shè)$\frac{a}$=x，$\frac{a}$=y，
則不等式等價為$\left\{\begin{array}{l}1≤x+y≤3\\ 3{x}^{2}≤1+y≤5{x}^{2}\\ x＞0，y＞0\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}x+y≥1\\ x+y≤3\\ y≥3{x}^{2}-1\\ y≤5{x}^{2}-1\\ x＞0\\ y＞0\end{array}\right.$，
則$\frac{b-2c}{a}$=$\frac{a}$-2•$\frac{c}{a}$=x-2y，
設(shè)z=x-2y，
作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：
由z=x-2y得y=$\frac{1}{2}$x-$\frac{1}{2}$z，
平移直線y=$\frac{1}{2}$x-$\frac{1}{2}$z，
由圖象可知當(dāng)直線y=$\frac{1}{2}$x-$\frac{1}{2}$z，過點(diǎn)A時，直線y=$\frac{1}{2}$x-$\frac{1}{2}$z的截距最大，此時z最小，
由$\left\{\begin{array}{l}x+y=3\\ y=5{x}^{2}-1\\ x＞0\\ y＞0\end{array}\right.$，解得x=$\frac{4}{5}$，y=$\frac{11}{5}$，
代入目標(biāo)函數(shù)z=x-2y，
得z=-$\frac{18}{5}$
∴目標(biāo)函數(shù)z=x-2y的最小值是-$\frac{18}{5}$，
故選：A

點(diǎn)評 本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，將不等式組進(jìn)行轉(zhuǎn)化，利用換元法轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃的知識是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)．