Question

11．已知f（x）=$\frac{{x}^{2}+a}{x+1}$，x∈（0，+∞）在x=1處取得極值，則f（x）的極小值為-6．

Answer 1

分析 求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)f′（1）=0，求出a的值，從而求出f（x）的最小值即可．

解答 解：f′（x）=$\frac{{x}^{2}+2x-a}{{（x+1）}^{2}}$，
∵f（x）=$\frac{{x}^{2}+a}{x+1}$，x∈（0，+∞）在x=1處取得極值，
∴f′（1）=0，解得：a=3，
∴f′（x）=$\frac{{x}^{2}+2x-3}{{（x+1）}^{2}}$=$\frac{（x+3）（x-1）}{{（x+1）}^{2}}$，
令f′（x）＞0，解得：x＞1，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜1，
∴f（x）在（0，1）遞減，在（1，+∞）遞增，
f（x）_極小值=f（1）=-6，
故答案為：-6．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道基礎(chǔ)題．