Question

12．已知雙曲線C₁和橢圓C₂有相同的焦點F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0）（c＞0），兩曲線在第一象限內(nèi)的交點為P，橢圓C₂與y軸負(fù)方向交點為B，且P，F(xiàn)₂，B三點共線，F(xiàn)₂分$\overrightarrow{PB}$所成的比為1：2，又直線PB與雙曲線C₁的另一個交點為Q，若|F₂Q|=$\frac{\sqrt{3}}{5}$，求雙曲線C₁和橢圓C₂的方程．

Answer 1

分析 設(shè)橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{{m}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{n}^{2}}$=1（m＞0，n＞0），由題意可得a²-b²=c²=m²+n²，設(shè)P（u，v），B（0，-b），運用線段的定比分點坐標(biāo)公式可得P的坐標(biāo)，代入橢圓方程，可得c=$\frac{\sqrt{3}}{3}$a，b=$\frac{\sqrt{6}}{3}$a，求得直線PB的方程，化簡可得雙曲線4x²-12y²=a²，將直線方程代入雙曲線的方程，解得交點Q，再由兩點的距離公式，可得a，進而得到b，m，n，即可得到所求雙曲線和橢圓的方程．

解答 解：設(shè)橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），
雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{{m}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{n}^{2}}$=1（m＞0，n＞0），
由題意可得a²-b²=c²=m²+n²，
設(shè)P（u，v），B（0，-b），
F₂分$\overrightarrow{PB}$所成的比為1：2，即為$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{{F}_{2}B}$，
即有c=$\frac{u+\frac{1}{2}•0}{1+\frac{1}{2}}$，0=$\frac{v+\frac{1}{2}•（-b）}{1+\frac{1}{2}}$，
解得u=$\frac{3}{2}$c，v=$\frac{1}{2}$b，
代入橢圓方程可得$\frac{9{c}^{2}}{4{a}^{2}}$+$\frac{1}{4}$=1，
即有c=$\frac{\sqrt{3}}{3}$a，b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$a，
則P（$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，$\frac{\sqrt{6}}{6}$a），B（0，-$\frac{\sqrt{6}}{3}$a），
直線PB的方程為y=$\sqrt{2}$x-$\frac{\sqrt{6}}{3}$a，
由c²=m²+n²=$\frac{1}{3}$a²，
且$\frac{3}{4}$•$\frac{{a}^{2}}{{m}^{2}}$-$\frac{{a}^{2}}{6{n}^{2}}$=1，
解得m²=$\frac{1}{4}$a²，n²=$\frac{1}{12}$a²，
則雙曲線的方程即為4x²-12y²=a²，
代入y=$\sqrt{2}$x-$\frac{\sqrt{6}}{3}$a，可得
20x²-16$\sqrt{3}$ax+9a²=0，
解得x=$\frac{3\sqrt{3}}{10}$a或$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，
即有Q（$\frac{3\sqrt{3}}{10}$a，-$\frac{\sqrt{6}}{30}$a），
由|F₂Q|=$\frac{\sqrt{3}}{5}$，可得$\sqrt{（\frac{3\sqrt{3}}{10}a-\frac{\sqrt{3}}{3}a）^{2}+（-\frac{\sqrt{6}}{30}a）^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{5}$，
解得a=2$\sqrt{3}$，即有b=2$\sqrt{2}$，c=2，m=$\sqrt{3}$，n=1，
則雙曲線C₁的方程為$\frac{{x}^{2}}{3}$-y²=1，橢圓C₂的方程為$\frac{{x}^{2}}{12}$+$\frac{{y}^{2}}{8}$=1．

點評 本題考查橢圓、雙曲線的方程的求法，注意運用待定系數(shù)法，線段的定比分點坐標(biāo)公式，以及直線方程和雙曲線方程聯(lián)立，求交點，考查化簡整理的運算能力，以及化歸思想，屬于中檔題．