Question

12．已知雙曲線(xiàn)C₁和橢圓C₂有相同的焦點(diǎn)F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0）（c＞0），兩曲線(xiàn)在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)為P，橢圓C₂與y軸負(fù)方向交點(diǎn)為B，且P，F(xiàn)₂，B三點(diǎn)共線(xiàn)，F(xiàn)₂分$\overrightarrow{PB}$所成的比為1：2，又直線(xiàn)PB與雙曲線(xiàn)C₁的另一個(gè)交點(diǎn)為Q，若|F₂Q|=$\frac{\sqrt{3}}{5}$，求雙曲線(xiàn)C₁和橢圓C₂的方程．

Answer 1

分析 設(shè)橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），雙曲線(xiàn)的方程為$\frac{{x}^{2}}{{m}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{n}^{2}}$=1（m＞0，n＞0），由題意可得a²-b²=c²=m²+n²，設(shè)P（u，v），B（0，-b），運(yùn)用線(xiàn)段的定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式可得P的坐標(biāo)，代入橢圓方程，可得c=$\frac{\sqrt{3}}{3}$a，b=$\frac{\sqrt{6}}{3}$a，求得直線(xiàn)PB的方程，化簡(jiǎn)可得雙曲線(xiàn)4x²-12y²=a²，將直線(xiàn)方程代入雙曲線(xiàn)的方程，解得交點(diǎn)Q，再由兩點(diǎn)的距離公式，可得a，進(jìn)而得到b，m，n，即可得到所求雙曲線(xiàn)和橢圓的方程．

解答 解：設(shè)橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），
雙曲線(xiàn)的方程為$\frac{{x}^{2}}{{m}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{n}^{2}}$=1（m＞0，n＞0），
由題意可得a²-b²=c²=m²+n²，
設(shè)P（u，v），B（0，-b），
F₂分$\overrightarrow{PB}$所成的比為1：2，即為$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{{F}_{2}B}$，
即有c=$\frac{u+\frac{1}{2}•0}{1+\frac{1}{2}}$，0=$\frac{v+\frac{1}{2}•（-b）}{1+\frac{1}{2}}$，
解得u=$\frac{3}{2}$c，v=$\frac{1}{2}$b，
代入橢圓方程可得$\frac{9{c}^{2}}{4{a}^{2}}$+$\frac{1}{4}$=1，
即有c=$\frac{\sqrt{3}}{3}$a，b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$a，
則P（$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，$\frac{\sqrt{6}}{6}$a），B（0，-$\frac{\sqrt{6}}{3}$a），
直線(xiàn)PB的方程為y=$\sqrt{2}$x-$\frac{\sqrt{6}}{3}$a，
由c²=m²+n²=$\frac{1}{3}$a²，
且$\frac{3}{4}$•$\frac{{a}^{2}}{{m}^{2}}$-$\frac{{a}^{2}}{6{n}^{2}}$=1，
解得m²=$\frac{1}{4}$a²，n²=$\frac{1}{12}$a²，
則雙曲線(xiàn)的方程即為4x²-12y²=a²，
代入y=$\sqrt{2}$x-$\frac{\sqrt{6}}{3}$a，可得
20x²-16$\sqrt{3}$ax+9a²=0，
解得x=$\frac{3\sqrt{3}}{10}$a或$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，
即有Q（$\frac{3\sqrt{3}}{10}$a，-$\frac{\sqrt{6}}{30}$a），
由|F₂Q|=$\frac{\sqrt{3}}{5}$，可得$\sqrt{（\frac{3\sqrt{3}}{10}a-\frac{\sqrt{3}}{3}a）^{2}+（-\frac{\sqrt{6}}{30}a）^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{5}$，
解得a=2$\sqrt{3}$，即有b=2$\sqrt{2}$，c=2，m=$\sqrt{3}$，n=1，
則雙曲線(xiàn)C₁的方程為$\frac{{x}^{2}}{3}$-y²=1，橢圓C₂的方程為$\frac{{x}^{2}}{12}$+$\frac{{y}^{2}}{8}$=1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓、雙曲線(xiàn)的方程的求法，注意運(yùn)用待定系數(shù)法，線(xiàn)段的定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式，以及直線(xiàn)方程和雙曲線(xiàn)方程聯(lián)立，求交點(diǎn)，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，以及化歸思想，屬于中檔題．