Question

9．已知向量$\vec a=（2cosωx，cos2ωx），\overrightarrow b=（sinωx，1）$（其中ω＞0），令函數(shù)f（x）=$\vec a•\vec b$，且f（x）的最小正周期為π．
（1）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若方程 2f（x）+k=0在$（-\frac{π}{4}，\frac{π}{4}）$上恒有解，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意和和差化積公式得到f（x）=$\sqrt{2}sin（{2ωx+\frac{π}{4}}）$．則由其最小正周期為π得到f（x）的函數(shù)式，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性質(zhì)即可求得函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．
（2）方程2f（x）+k=0在$（-\frac{π}{4}，\frac{π}{4}）$上恒有解，則k的范圍與-2f（x）在$（-\frac{π}{4}，\frac{π}{4}）$上的取值范圍相同．據(jù)此可以得到實(shí)數(shù)k的取值范圍．

解答 解：（1）$f（x）=\overrightarrow a•\overrightarrow b=2cosωxsinωx+cos2ωx$，
=sin2ωx+cos2ωx=$\sqrt{2}sin（{2ωx+\frac{π}{4}}）$．
∵f（x）的最小正周期為π，
∴ω=1，
從而  $f（x）=\sqrt{2}sin（{2x+\frac{π}{4}}）$．
∵$f（x）=\sqrt{2}sin（{2x+\frac{π}{4}}）$$-\frac{π}{2}+2kπ≤2x+\frac{π}{4}≤-\frac{π}{2}+2kπ，k∈Z$，即$-\frac{3π}{8}+kπ≤x≤\frac{π}{8}+kπ，k∈Z$時(shí)，f（x）單調(diào)遞增．
故f（x）的單調(diào)增區(qū)間為$[{-\frac{3π}{8}+kπ，\frac{π}{8}+kπ}]，k∈Z$；
（2）方程2f（x）+k=0在$（-\frac{π}{4}，\frac{π}{4}）$上恒有解，則k的范圍與-2f（x）在$（-\frac{π}{4}，\frac{π}{4}）$上的取值范圍相同．
當(dāng)$x∈（-\frac{π}{4}，\frac{π}{4}）$時(shí)，$-2f（x）=-2\sqrt{2}sin（{2x+\frac{π}{4}}）∈[{-2\sqrt{2}，2）}\right.$，
故$k∈[{-2\sqrt{2}，2）}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，求得 $f（x）=\sqrt{2}sin（{2x+\frac{π}{4}}）$是關(guān)鍵，考查正弦函數(shù)的周期性、單調(diào)性及最值的應(yīng)用，屬于中檔題．