Question

20．若存在a∈R，使得|x+a|≤lnx+1在[1，m]上恒成立，則整數(shù)m的最大值為（　�。�

• A． 3
• B． 4
• C． 5
• D． 6

Answer 1

分析 由題意可得-1-lnx≤x+a≤1+lnx，即-1-lnx-x≤a≤1+lnx-x，運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性可得最值，通過m的取值，即可得到所求最大值．

解答 解：|x+a|≤lnx+1在[1，m]上恒成立，即為：
-1-lnx≤x+a≤1+lnx，即-1-lnx-x≤a≤1+lnx-x，
由y=-1-lnx-x在[1，m]上遞減，可得x=1時(shí)取得最大值-2，
可得a≥-2；
由y=1+lnx-x的導(dǎo)數(shù)為y′=$\frac{1}{x}$-1≤0，可得在[1，m]上遞減，
即有x=m時(shí)，取得最小值，且為1+lnm-m，即a≤1+lnm-m，
由1+lnm-m≥-2，即lnm≥m-3，
顯然m=2，ln2＞2-3=-1；m=3，ln3＞3-3；
m=4，ln4＞4-3=1；m=5，ln5＜5-3=2．
即有整數(shù)m的最大值為4．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)恒成立問題的解法，注意運(yùn)用參數(shù)分離和單調(diào)性，轉(zhuǎn)化為求最值的方法，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．