Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

3

2

，直線l₁經(jīng)過橢圓的上頂點A和右頂點B，并且和圓x²+y²=

4

5

相切．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設直線l₂：y=kx+m（|m|∈[

1

2

，1]） 與橢圓C相交于M，N兩點，以線段OM，ON為鄰邊作平行四邊行OMPN，其中頂點P在橢圓C上，O為坐標原點，求|OP|的取值范圍．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由已知條件推導出a=2b，

|a|

12+22

=

4 5

，由此能求出橢圓方程．
（2）聯(lián)立

x2 4 +y2=1 y=kx+m

，得：（1+4k²）x²+8kmx+4（m²-1）=0，設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），P（x₀，y₀），由已知得P（

-8km

4k2+1

，

2m

4k2+1

），由此利用橢圓性質推導出|OP|∈[1，

13

2

]．

解答： 解：（1）由e2=

a2-b2

a2

=

3

4

，得a²=4b²，所以a=2b，…（1分）
所以l₁：x+2y-a=0，有

|a|

12+22

=

4 5

，解得a=2，…..（5分）
所以b=1，所以橢圓方程為

x2

4

+y2=1．…．（6分）
（2）聯(lián)立

x2 4 +y2=1 y=kx+m

，消去y，得：（1+4k²）x²+8kmx+4（m²-1）=0，
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），P（x₀，y₀），
則x0=x1+x2=

-8km

4k2+1

，y0=y1+y2=

2m

4k2+1

，
∴P（

-8km

4k2+1

，

2m

4k2+1

），
點P在橢圓上，有

( -8km 4k2+1 )2

4

+(

2m

4k2+1

)2=1，
整理，得4m²（1+4k²）=（1+4k²）²，
∴m2=k2+

1

4

，
而|OP|²=x02+y02=(

-8km

4k2+1

)2+(

2m

4k2+1

)2=4-

3

4m2

，
∵|m|∈[

1

2

，1]，∴m2∈[

1

4

，1]，
∴4-

3

4m2

∈[1，

13

4

]，
∴|OP|∈[1，

13

2

]．

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查線段長的取值范圍的求法，解題時要認真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運用．