4.已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F并且經(jīng)過點(diǎn)A(1,-2).
(1)求拋物線C的方程;
(2)過F作傾斜角為45°的直線l,交拋物線C于M,N兩點(diǎn),求線段MN的長度.

分析 (1)利用拋物線C:y2=2px(p>0)經(jīng)過點(diǎn)A(1,-2),求出p,即可求拋物線C的方程;
(2)過F作傾斜角為45°的直線l的方程為:y=x-1,聯(lián)立拋物線,利用弦長公式求線段MN的長度.

解答 解:(1)把點(diǎn)A(1,-2)代入拋物線C:y2=2px(p>0),可得(-2)2=2p×1,解得p=2.
∴拋物線C的方程為:y2=4x.                                  …(5分)
(2)F(1,0).
設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2).
直線l的方程為:y=x-1.                                          …(7分)
聯(lián)立拋物線,化為x2-6x+1=0,…(9分)
∴x1+x2=6,x1x2=1.
∴|MN|=$\sqrt{1+1}•\sqrt{36-4}$=8.             …12分

點(diǎn)評 本題考查拋物線的方程,考查直線與拋物線的位置關(guān)系,考查學(xué)生的計算能力,屬于中檔題.

練習(xí)冊系列答案
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