Question

（本題滿分14分）如圖，是等腰直角三角形，，，分別為的中點(diǎn)，沿將折起，得到如圖所示的四棱錐．

（Ⅰ）在棱上找一點(diǎn)，使∥平面；

（Ⅱ）當(dāng)四棱錐的體積取最大值時(shí)，求平面與平面夾角的余弦值．

 

Answer 1

（Ⅰ）點(diǎn)為棱的中點(diǎn)；（Ⅱ）平面與平面夾角的余弦值為．

【解析】

試題分析：（Ⅰ）首先作出輔助線即取的中點(diǎn)，連接，由中位線性質(zhì)知，∥，

，且∥，．進(jìn)而證明四邊形是平行四邊形，即∥．于是即可得出結(jié)論；（Ⅱ）首先運(yùn)用線面關(guān)系證明底面，即就是四棱錐的高，然后分別以所在直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面和平面的法向量，最后由二面角的平面角與法向量夾角之間的關(guān)系即可求出所求結(jié)果.

試題解析：（Ⅰ）點(diǎn)為棱的中點(diǎn)．證明如下：取的中點(diǎn)，連接，則由中位線定

理，∥，，且∥，．所以∥，，從而四邊形是平行四邊形，∥．又面內(nèi)，平面，故點(diǎn)為棱的中點(diǎn)時(shí)，∥平面．

（Ⅱ）在平面內(nèi)作于點(diǎn)，平面，

又，故⊥底面，即就是四棱錐的高．

由知，點(diǎn)和重合時(shí)，四棱錐的體積取最大值．

分別以所在直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則，．

設(shè)平面的法向量為，

由

得，即，

可取．

同理可以求得平面的一個(gè)法向量．

故，

故平面與平面夾角的余弦值為．

考點(diǎn)：線面平行的判定；線面垂直的判定；空間向量在立體幾何中的應(yīng)用.