Question

7．已知函數(shù)f（x）=4-x²
（1）試判斷函數(shù)f（x）的奇偶性并說明理由；
（2）用定義證明函數(shù)f（x）在[0，+∞）是減函數(shù)．

Answer 1

分析 （1）先求出函數(shù)的定義域，求出f（-x），判斷出f（-x）與f（x）的關(guān)系，利用奇函數(shù)偶函數(shù)的定義判斷出f（x）的奇偶性；
（2）設(shè)出定義域中的兩個自變量，求出兩個函數(shù)值的差，將差變形，判斷出差的符號，據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義判斷出函數(shù)的單調(diào)性．

解答 解：（1）f（x）的定義域為R，
又∵f（-x）=[4-（-x）²]=4-x²=f（x），
∴f（x）在R內(nèi)是偶函數(shù)．
（2）設(shè)x₁，x₂∈R，0＜x₁＜x₂
∵f（x₁）-f（x₂）=（4-x₁²）-（4-x₂²）=x₂²-x₁²=（x₂+x₁）（x₂-x₁）
又x₁，x₂∈R，0＜x₁＜x₂，
∴（x₂+x₁）＞0，（x₂-x₁）＞0
∵f（x₁）-f（x₂）＞0，
所以函數(shù)f（x）在[0，+∞）是減函數(shù)．

點評 判斷函數(shù)的奇偶性應(yīng)該先求出函數(shù)的定義域，判斷定義域是否關(guān)于原點對稱，若不對稱則函數(shù)不具有奇偶性，若對稱，再檢驗f（-x）與f（x）的關(guān)系；利用單調(diào)性的定義判斷函數(shù)的單調(diào)性一定要將函數(shù)值的差變形到能判斷出符號為止．