Question

15．為迎接2016年到來(lái)，某手工作坊的師傅要制作一種“新年禮品”，制作此禮品的次品率P與日產(chǎn)量x（件）滿足P=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{20-x}}&{（0＜x≤c）}\\{\frac{4}{5}}&{（x＞c）}\end{array}\right.$（c為常數(shù)，且c∈N^*，c＜20），且每制作一件正品盈利4元，每出現(xiàn)一件次品虧損1元．
（Ⅰ）將日盈利額y（元）表示為日產(chǎn)量x（件）的函數(shù)；
（Ⅱ）為使日盈利額最大，日制作量應(yīng)為多少件？（注：次品率=$\frac{次品數(shù)}{產(chǎn)品總數(shù)}$×100%）

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過(guò)y=（4-5P）x，分類討論即得結(jié)論；
（Ⅱ）利用（I）可知要使日盈利額最大，則0＜x≤c，通過(guò)求導(dǎo)可知y′=0得x=15，分0＜c＜15、15≤c＜20兩種情況討論即可．

解答 解：（Ⅰ）依題意，y=4（x-Px）-Px=（4-5P）x，
當(dāng)0＜x≤c時(shí)，y=（4-$\frac{5}{20-x}$）x=$\frac{75-4x}{20-x}$x，
當(dāng)x＞c時(shí)，y=（4-5•$\frac{4}{5}$）x=0，
∴y=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{-4{x}^{2}+75x}{20-x}，}&{0＜x≤c}\\{0，}&{x＞c}\end{array}\right.$；
（Ⅱ）由（I）可知要使日盈利額最大，則0＜x≤c，
此時(shí)令y′=$\frac{4（x-15）（x-25）}{（20-x）^{2}}$=0，
解得：x=15或x=25（舍），
∴當(dāng)0＜c＜15時(shí)，y′＞0，
此時(shí)y在區(qū)間（0，c]上單調(diào)遞增，
∴y_max=f（c）=$\frac{-4{c}^{2}+75c}{20-c}$，此時(shí)x=c；
當(dāng)15≤c＜20時(shí)，y在區(qū)間（0，15）上單調(diào)遞增、在區(qū)間（15，20）上單調(diào)遞減，
∴y_max=f（15）=45；
綜上所述，若0＜c＜15，則當(dāng)日制作量為c件時(shí)，日盈利額最大；
若15≤c＜20，則當(dāng)日制作量為15件時(shí)，日盈利額最大．

點(diǎn)評(píng) 本題考查根據(jù)實(shí)際問(wèn)題選擇函數(shù)類型，考查分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．