Question

2．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$的左、右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，過點(diǎn)F₁作傾斜角為$\frac{π}{3}$的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，求：
（1）弦AB的長
（2）△F₂AB的面積．

Answer 1

分析 （1）通過橢圓方程可知F₁（-1，0）、F₂（1，0），進(jìn)而可知過點(diǎn)F₁作傾斜角為$\frac{π}{3}$的直線方程為y=$\sqrt{3}$（x+1），通過聯(lián)立直線與橢圓方程可知A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)，進(jìn)而利用兩點(diǎn)間距離公式計(jì)算可得結(jié)論；
（2）通過（1）可知，點(diǎn)F₂（1，0）到直線y=$\sqrt{3}$（x+1）的距離為d，進(jìn)而利用${S}_{△{F}_{2}AB}$=$\frac{1}{2}$d•|AB|計(jì)算即得結(jié)論．

解答 解：（1）依題意，F(xiàn)₁（-1，0）、F₂（1，0），
∴過點(diǎn)F₁作傾斜角為$\frac{π}{3}$的直線方程為：y=$\sqrt{3}$（x+1），
聯(lián)立直線與橢圓方程，消去y整理得：5x²+8x=0，
解得：x=0或x=-$\frac{8}{5}$，
∴|AB|=2$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=2•$\frac{8}{5}$=$\frac{16}{5}$；
（2）由（1）可知，點(diǎn)F₂（1，0）到直線y=$\sqrt{3}$（x+1）的距離為d，
則d=$\frac{|\sqrt{3}-0+\sqrt{3}|}{\sqrt{3+1}}$=$\sqrt{3}$，
${S}_{△{F}_{2}AB}$=$\frac{1}{2}$d•|AB|=$\frac{1}{2}$•$\sqrt{3}$•$\frac{16}{5}$=$\frac{8\sqrt{3}}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與圓錐曲線的關(guān)系，考查運(yùn)算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．