Question

11．已知矩陣A=$[\begin{array}{l}{1}&{0}\\{1}&{1}\end{array}]$，B=$[\begin{array}{l}{0}&{2}\\{3}&{2}\end{array}]$．
（1）求滿足條件AM=B的矩陣M；
（2）矩陣M對應的變換將曲線C：x²+y²=1變換為曲線C′，求曲線C′的方程．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數(shù)法，求滿足條件AM=B的矩陣M；
（2）建立曲線C上任意一點P（x，y）在矩陣M對應的變換作用下變?yōu)辄cP′（x′，y′）的關系，將點P（x，y）的坐標代入圓的方程即可求出．

解答 解：（1）設M=$[\begin{array}{l}{a}&\\{c}&ae7pcam\end{array}]$，
AM=$[\begin{array}{l}{1}&{0}\\{1}&{1}\end{array}]$$[\begin{array}{l}{a}&\\{c}&hu7vs2a\end{array}]$=$[\begin{array}{l}{a}&\\{a+c}&{b+d}\end{array}]$=$[\begin{array}{l}{0}&{2}\\{3}&{2}\end{array}]$，
得a=0，b=2，c=3，d=0．
∴M=$[\begin{array}{l}{0}&{2}\\{3}&{0}\end{array}]$．
（2）設曲線C上任意一點P（x，y）在矩陣M對應的變換作用下變?yōu)辄cP′（x′，y′），
則M$[\begin{array}{l}{x}\\{y}\end{array}]$=$[\begin{array}{l}{0}&{2}\\{3}&{2}\end{array}]$$[\begin{array}{l}{x}\\{y}\end{array}]$=$[\begin{array}{l}{2y}\\{3x}\end{array}]$=$[\begin{array}{l}{x′}\\{y′}\end{array}]$，
∴2y=x′，3x=y′
即y=$\frac{x′}{2}$，x=$\frac{y′}{3}$
代入曲線C：x²+y²=1，得（$\frac{x′}{2}$）²+（$\frac{y′}{3}$）²=1．
∴曲線C′的方程是$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1．

點評 本題主要考查矩陣與變換、曲線在矩陣變換下的曲線的方程，考查運算求解能力及化歸與轉化思想．