Question

設(shè)f（x）=

1

2

x²-2ax-a²lnx．
（I）如果f（x）在點（1，f（1））處的切線與直線x-2y+3=0垂直，求a的值；
（Ⅱ）討論f（x）的單調(diào)性；
（Ⅲ）若a=1，方程f（x）=0有兩個實數(shù)根m，n．（m＜n），求證：x=

m+n

2

不是f（x）的極值點．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（I）求導(dǎo)數(shù)，利用f（x）在點（1，f（1））處的切線與直線x-2y+3=0垂直，建立方程，即可求a的值；
（Ⅱ）求導(dǎo)數(shù)，分類討論，利用導(dǎo)數(shù)的正負，即可得出f（x）的單調(diào)性；
（Ⅲ）利用反證法，結(jié)合極值點的含義，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（I）f′(x)=x-2a-

a2

x

=

x2-2ax-a2

x

(x＞0)．
由已知f′（1）=-2，∴1-2a-a²=-2，
∴a=1或a=-3．
（II）f′(x)=x-2a-

a2

x

=

x2-2ax-a2

x

(x＞0)．
當(dāng)a＜0時，在(0，a-

2

a)上f′（x）＜0；在（a-

2

a，+∞）上f′（x）＞0．
當(dāng)a=0時，在（0，+∞）上f′（x）＞0．
當(dāng)a＞0時，在（0，a+

2

a）上f′（x）＜0；在（a+

2

a，+∞）上f′（x）＞0．
綜上所述：當(dāng)a＜0時，f（x）的增區(qū)間為（a-

2

a，+∞），減區(qū)間為（0，a-

2

a）；
當(dāng)a=0時，f（x）的增區(qū)間為（0，+∞）；
當(dāng)a＞0時，f（x）的增區(qū)間為（a+

2

a，+∞），減區(qū)間為（0，a+

2

a）．
（III）當(dāng)a=1時，f(x)=

1

2

x2-2x-lnx⇒f′(x)=x-2-

1

x

(x＞0)，
假設(shè)x=

m+n

2

是F（x）的極值點，那么f′(

m+n

2

)=0⇒

m+n

2

-2=

2

m+n

．

1 2 m2-2n1=lnm 1 2 n2-2n=lnn

⇒0.5(m+n)(m-n)-2(m-n)=ln

m

n

，
將上式代入，得

2(m-n)

m+n

=ln

m

n

，那么ln

m

n

=2×

m n -1

m n +1

(*)，
設(shè)

m

n

=t，t∈(0，1).lnt=2×

t-1

t+1

，
令G(t)=lnt-2•

t-1

t+1

．
∵G（t）=

1

t

-

4

(t+1)2

=

(t-1)2

t(t+1)2

＞0，
∴G（t）在（0，1）上遞增，∴G（t）＜G（1）=0，G（t）=0在（0，1）上無實數(shù)根，即（*）不成立的．
故x=

m+n

2

不是f（x）的極值點．

點評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的綜合運用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的極值點，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．