Question

為了保護生態(tài)和環(huán)境，某市不再完全以GDP考核轄區(qū)內(nèi)各縣政府的政績，廣大群眾的幸福指數(shù)成為考核縣政府政績的又一個重要指標(biāo)，從而成立了市政府幸福辦公室，其主要工作是隨機抽查群眾的幸福指數(shù)，為市政府提供最基礎(chǔ)的原始數(shù)據(jù)．該辦公室某工作人員在一次隨機抽查了10名A縣群眾后，繪制了如圖的莖葉圖．
（1）求這10名群眾幸福指數(shù)的中位數(shù)及平均數(shù)；（莖表示十位數(shù)字，葉表示個位數(shù)字）
（2）市領(lǐng)導(dǎo)在該10名群眾幸福指數(shù)中隨機選取了3個指數(shù)，若至少有2個指數(shù)在80或80以上的概率不小于

1

2

，則A縣政府受到表揚，問A縣政府是否受到表揚？
（3）若某人幸福指數(shù)在[60，70）內(nèi)，則稱該人為“勉強幸福人”，在該10名群眾中隨機抽一名，其為“勉強幸福人”人的概率作為A縣每位群眾為“勉強幸福人”人的概率；現(xiàn)隨機抽取3名A縣群眾（群眾人數(shù)很多），記其中“勉強幸福人”人的個數(shù)為ξ，求ξ的分布列與期望．

Answer 1

考點：離散型隨機變量的期望與方差,等可能事件的概率

專題：概率與統(tǒng)計

分析：（1）由莖葉圖能求出中位數(shù)和平數(shù)數(shù)．
（2）記“至少有2個指數(shù)在80或80以上”為事件B，求出P（B），能判斷A縣政府是否受到表揚．
（3）由題意得A縣任意一位群眾是“勉強幸�！比说母怕蕄=

1

5

，ξ的可能取值為0，1，2，3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出ξ的分布列與期望．

解答： 解：（1）由莖葉圖知中位數(shù)為：76．
平數(shù)數(shù)

.

x

=

1

10

（62+64+70+72+72+80+85+85+88+92）=77．
（2）記“至少有2個指數(shù)在80或80以上”為事件B，
則P（B）=

C 2 5 C 1 5 + C 3 5

C 3 10

=

1

2

≥

1

2

，
∴A縣政府受到表揚．
（3）由題意得A縣任意一位群眾是“勉強幸�！比说母怕蕄=

1

5

，
ξ的可能取值為0，1，2，3，
P（ξ=0）=

C

0 3

(

4

5

)3=

64

125

，
P（ξ=1）=

C

1 3

(

1

5

)(

4

5

)2=

48

125

，
P（ξ=2）=

C

2 3

(

1

5

)2(

4

5

)=

12

125

，
P（ξ=3）=

C

3 3

(

1

5

)3=

1

125

，
∴ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3
P	64 125	48 125	12 125	1 125

Eξ=0×

64

125

+1×

48

125

+2×

12

125

+3×

1

125

=

3

5

．

點評：本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，解題時要認真審題，是中檔題．