Question

設函數(shù)f（x）=x²-2x+1+alnx（a∈R）．
（1）討論函數(shù)f（x）的單調性；
（2）若函數(shù)f（x）有兩個極值點x₁、x₂，且x₁＜x₂，證明：f（x₂）＞

1-2ln 2

4

．

Answer 1

考點：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（1）由f′（x）=

x2-2x+a

x

，（x＞0），得△=4-8a=4（1-2a），討論①a≥

1

2

時，②0＜a＜

1

2

時，③a≤0時的情況，從而得出結論；
（2）由f′（x₂ ）=0，得：a=2x₂-2x22，由（1）中②可知

1

2

＜x₂＜1，從而f（x₂ ）=x22-2x₂+1+（2x₂-2x22）lnx₂，（

1

2

＜x₂＜1），令g（t）=t²-2t+1+（2t-2t²）lnt，（

1

2

＜t＜1），求出g′（t）=2（1-2t）lnt，當t∈（

1

2

，1）時，g′（t）＞0，進而g（t）＞g（

1

2

）=

1-2ln2

4

，問題解決．

解答： 解：（1）∵f′（x）=

x2-2x+a

x

，（x＞0），
∴△=4-8a=4（1-2a），
①a≥

1

2

時，有△≤0，
∴f′（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，
∴f（x）在（0，+∞）遞增，
②0＜a＜

1

2

時，有△＞0，令f′（x）=0，
解得：x₁=

1- 1-2a

2

（x₁＞0），x₂=

1+ 1-2a

2

，
令f′（x）＞0，解得：0＜x＜

1- 1-2a

2

或x＞

1+ 1-2a

2

，
令f′（x）＜0，解得：

1- 1-2a

2

＜x＜

1+ 1-2a

2

，
∴f（x）在（0，

1- 1-2a

2

），（

1+ 1-2a

2

，+∞）遞增，
在（

1- 1-2a

2

，

1+ 1-2a

2

）遞減；
③a≤0時，有△＞0，且②中的x₁=

1- 1-2a

2

≤0，
令f′（x）＞0，解得：x＞

1+ 1-2a

2

，
令f′（x）＜0，解得：0＜x＜

1+ 1-2a

2

，
∴f（x）在（0，

1+ 1-2a

2

）遞減，在（

1+ 1-2a

2

，+∞）遞增；
（2）∵x₂ 為極值點，∴f′（x₂ ）=0，
即2x22-2x₂+a=0，解得：a=2x₂-2x22，
由（1）中②可知

1

2

＜x₂＜1，
∴f（x₂ ）=x22-2x₂+1+（2x₂-2x22）lnx₂，（

1

2

＜x₂＜1），
令g（t）=t²-2t+1+（2t-2t²）lnt，（

1

2

＜t＜1），
∴g′（t）=2（1-2t）lnt，
當t∈（

1

2

，1）時，g′（t）＞0，
∴g（t）在（

1

2

，1）上遞增，
∴g（t）＞g（

1

2

）=

1-2ln2

4

，
∴f（x₂ ）=g（x₂ ）＞

1-2ln2

4

．

點評：本題考察了函數(shù)的單調性，導數(shù)的應用，不等式的證明，滲透了分類討論思想，是一道綜合題．