18.如圖,直三陵柱ABC-A1B1C1中,△ABC為等腰直角三角形,AC=BC=1,AA1=$\sqrt{2}$,D是A1B1的中點,F(xiàn)是B1B上一點.
(I)證明:C1D⊥平面A1B;(Ⅱ)設(shè)B1F=1,求AB1與平面C1DF夾角θ的正弦值.

分析 (Ⅰ)推導(dǎo)出C1D⊥AA1,C1D⊥A1B1,由此能證明C1D⊥平面A1B.
(Ⅱ)以C1為原點,C1A1為x軸,C1B1為y軸,C1C為z軸,建立空間直角坐標系,利用向量法能求出AB1與平面C1DF夾角θ的正弦值.

解答 證明:(Ⅰ)∵直三陵柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥平面A1B1C1,C1D?平面A1B1C1
∴C1D⊥AA1,
∵△ABC為等腰直角三角形,AC=BC=1,
∴C1D⊥A1B1,
∵AA1∩A1B1=A1,∴C1D⊥平面A1B.
解:(Ⅱ)以C1為原點,C1A1為x軸,C1B1為y軸,C1C為z軸,建立空間直角坐標系,
則A(1,0,$\sqrt{2}$),B1=(0,1,0),A1(1,0,0),D($\frac{1}{2},\frac{1}{2},0$),
C1(0,0,0),F(xiàn)(0,1,1),
$\overrightarrow{A{B}_{1}}$=(-1,1,-$\sqrt{2}$),$\overrightarrow{{C}_{1}D}$=($\frac{1}{2},\frac{1}{2},0$),$\overrightarrow{{C}_{1}F}$=(0,1,1),
設(shè)平面C1DF的法向量為$\overrightarrow{n}$=(x,y,z),
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{C}_{1}D}=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{C}_{1}F}=y+z=0}\end{array}\right.$,取x=1,得$\overrightarrow{n}$=(1,-1,1),
∴sinθ=$\frac{|\overrightarrow{A{B}_{1}}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{A{B}_{1}}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{|-2-\sqrt{2}|}{2\sqrt{3}}$=$\frac{2\sqrt{3}+\sqrt{6}}{6}$.
∴AB1與平面C1DF夾角θ的正弦值為$\frac{2\sqrt{3}+\sqrt{6}}{6}$.

點評 本題考查線面垂直的證明,考查線面角的正弦值的求法,是中檔題,解題時要認真審題,注意向量法的合理運用.

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