Question

18．如圖，直三陵柱ABC-A₁B₁C₁中，△ABC為等腰直角三角形，AC=BC=1，AA₁=$\sqrt{2}$，D是A₁B₁的中點，F(xiàn)是B₁B上一點．
（I）證明：C₁D⊥平面A₁B；（Ⅱ）設(shè)B₁F=1，求AB₁與平面C₁DF夾角θ的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推導(dǎo)出C₁D⊥AA₁，C₁D⊥A₁B₁，由此能證明C₁D⊥平面A₁B．
（Ⅱ）以C₁為原點，C₁A₁為x軸，C₁B₁為y軸，C₁C為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出AB₁與平面C₁DF夾角θ的正弦值．

解答 證明：（Ⅰ）∵直三陵柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面A₁B₁C₁，C₁D?平面A₁B₁C₁，
∴C₁D⊥AA₁，
∵△ABC為等腰直角三角形，AC=BC=1，
∴C₁D⊥A₁B₁，
∵AA₁∩A₁B₁=A₁，∴C₁D⊥平面A₁B．
解：（Ⅱ）以C₁為原點，C₁A₁為x軸，C₁B₁為y軸，C₁C為z軸，建立空間直角坐標系，
則A（1，0，$\sqrt{2}$），B₁=（0，1，0），A₁（1，0，0），D（$\frac{1}{2}，\frac{1}{2}，0$），
C₁（0，0，0），F(xiàn)（0，1，1），
$\overrightarrow{A{B}_{1}}$=（-1，1，-$\sqrt{2}$），$\overrightarrow{{C}_{1}D}$=（$\frac{1}{2}，\frac{1}{2}，0$），$\overrightarrow{{C}_{1}F}$=（0，1，1），
設(shè)平面C₁DF的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{C}_{1}D}=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{C}_{1}F}=y+z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，-1，1），
∴sinθ=$\frac{|\overrightarrow{A{B}_{1}}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{A{B}_{1}}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{|-2-\sqrt{2}|}{2\sqrt{3}}$=$\frac{2\sqrt{3}+\sqrt{6}}{6}$．
∴AB₁與平面C₁DF夾角θ的正弦值為$\frac{2\sqrt{3}+\sqrt{6}}{6}$．

點評 本題考查線面垂直的證明，考查線面角的正弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．