Question

8．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且a₁=1，4a_na_n-1+S_n=S_n-1+a_n-1（n≥2，n∈N^*）．
（1）證明：數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是等差數(shù)列；
（2）若$\frac{{a}_{n}}{λ}$+$\frac{1}{{a}_{n+1}}$$≥\frac{1}{λ}$對(duì)任意整數(shù)n（n≥2）恒成立，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由a_n=S_n-S_n-1，可得$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n-1}}$=4（n≥2），由等差數(shù)列的定義即可得證；
（2）運(yùn)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，可得a_n=$\frac{1}{4n-3}$，由參數(shù)分離可得$\frac{1}{λ}$≤$\frac{（4n-3）（4n+1）}{4n-4}$（n≥2），判斷右邊數(shù)列的單調(diào)性，可得最小值，進(jìn)而得到實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

解答 解：（1）證明：4a_na_n-1+S_n=S_n-1+a_n-1（n≥2，n∈N^*），
可得4a_na_n-1+a_n-a_n-1=0，
即有$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n-1}}$=4（n≥2），
則數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是1為首項(xiàng)，4為公差的等差數(shù)列；
（2）由（1）可得$\frac{1}{{a}_{n}}$=1+4（n-1）=4n-3，
即有a_n=$\frac{1}{4n-3}$，
由$\frac{{a}_{n}}{λ}$+$\frac{1}{{a}_{n+1}}$$≥\frac{1}{λ}$可得$\frac{1}{λ}$•$\frac{4n-4}{4n-3}$≤4n+1，
即$\frac{1}{λ}$≤$\frac{（4n-3）（4n+1）}{4n-4}$（n≥2），
令c_n=$\frac{（4n-3）（4n+1）}{4n-4}$（n≥2），
則c_n+1-c_n=$\frac{（4n+1）（4n-5）}{4n（n-1）}$＞0，
即有數(shù)列{c_n}為遞增數(shù)列，
當(dāng)n=2時(shí)，取得最小值，且為$\frac{45}{4}$，
可得$\frac{1}{λ}$≤$\frac{45}{4}$，解得λ＜0或λ≥$\frac{4}{45}$．
即實(shí)數(shù)λ的取值范圍為（-∞，0）∪[$\frac{4}{45}$，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)和求和的關(guān)系，考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的運(yùn)用，考查數(shù)列不等式恒成立問題的解法，注意運(yùn)用數(shù)列的單調(diào)性，屬于中檔題．