Question

3．在平面直角坐標系xoy中，圓C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=1+2cost\\ y=-\sqrt{3}+2sint\end{array}\right.$（t為參數(shù)）．在極坐標系（與平面直角坐標系xoy取相同的長度單位，且以原點O為極點，以x軸非負半軸為極軸）中，直線l的方程為$2ρsin（θ-\frac{π}{6}）=m（m∈R）$．
（Ⅰ）求圓C的普通方程及直線l的直角坐標方程；
（Ⅱ）設直線l被圓C截得的弦長為$2\sqrt{3}$，求m的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）把圓的參數(shù)方程變形，平方后相加可得圓的普通方程，把$2ρsin（θ-\frac{π}{6}）=m（m∈R）$左邊展開兩角差的正弦，代入x=ρcosθ，y=ρsinθ得答案；
（Ⅱ）由直線l被圓C截得的弦長為$2\sqrt{3}$，圓的半徑為2，可得圓心到直線的距離，由點到直線的距離公式求得m的值．

解答 解：（Ⅰ）由$\left\{\begin{array}{l}x=1+2cost\\ y=-\sqrt{3}+2sint\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x-1=2cost}\\{y+\sqrt{3}=2sint}\end{array}\right.$，兩式平方相加得：${（x-1）^2}+{（y+\sqrt{3}）^2}=4$，
∴圓C的普通方程為${（x-1）^2}+{（y+\sqrt{3}）^2}=4$；
由$2ρsin（θ-\frac{π}{6}）=m⇒2ρsinθ•\frac{{\sqrt{3}}}{2}-2ρcosθ•\frac{1}{2}=m$，
從而得$\sqrt{3}ρsinθ-ρcosθ=m$，∴$x-\sqrt{3}y+m=0$；
（Ⅱ）∵直線l被圓C截得的弦長為$2\sqrt{3}$，且圓的半徑為2，
∴圓心到直線的距離為1，
即$\frac{{|1-\sqrt{3}×（-\sqrt{3}）+m|}}{2}=1$，
從而得|m+4|=2，解得m=-2或-6．

點評 本題考查參數(shù)方程化普通方程，考查了極坐標方程化直角坐標方程，考查弦心距、弦長及圓的半徑間的關系的運用，是中檔題．