精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情
在直三棱柱ABC-A′B′C′中,底面是以角∠ABC為直角的等腰直角三角形,AC=2a,BB′=3a,D是A′C′的中點.
(1)證明:A′B∥平面B′CD;
(2)在側棱AA′上是否存在點E,使CE⊥平面B′D E.
考點:直線與平面平行的判定
專題:空間位置關系與距離
分析:(1)連結B′C,BC′,交于點E,連結DE,由三角形中位線得DE∥A′B,由此能證明A′B∥平面B′CD.
(2)以B為原點,BA為x軸,BC為y軸,BB′為z軸,建立空間直角坐標系,利用向量法能推導出側棱AA′上是不存在點E,使CE⊥平面B′DE.
解答: (1)證明:連結B′C,BC′,交于點E,連結DE,
∵BB′C′C是矩形,∴E是B′C的中點,
D是A′C′的中點,∴DE∥A′B,
∵DE?平面B′CD,A′B不包含于平面B′CD,
∴A′B∥平面B′CD.
(2)解:以B為原點,BA為x軸,BC為y軸,BB′為z軸,
建立空間直角坐標系,
則B′(0,0,3a),A(2a,0,0),A′(2a,0,3a),C′(0,2a,3a),
D(a,a,3a),設E(2a,0,t),C(0,2a,0),
DE
=(a,-a,t-3a),
DB
=(-a,-a,0),
CE
=(2a,-2a,t),
設平面B′DE的法向量
n
=(x,y,z)
,
n
DE
=ax-ay+(t-3a)z=0
n
DB
=-ax-ay=0
,取x=1,得
n
=(1,-1,
2a
3a-t
)

∵CE⊥平面B′DE,
1
2a
=
2a
3a-t
t
,∴t2-3at+4a2=0,
△=9a2-16a2<0,
∴側棱AA′上是不存在點E,使CE⊥平面B′DE.
點評:本題考查直線與平面平行的證明,考查滿足條件的點是否存在的判斷與求法,解題時要認真審題,注意向量法的合理運用.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數學 來源: 題型:

攀枝花市歡樂陽光節(jié)是攀枝花市的一次向外界展示攀枝花的盛會,為了搞好接待工作,組委會在某大學招募了8名男志愿者和5名女志愿者(分成甲乙兩組),招募時志愿者的個人綜合素質測評成績如圖所示.
(Ⅰ)問男志愿者和女志愿者的平均個人綜合素質測評成績哪個更高?
(Ⅱ)現從甲乙兩組個人綜合素質測評為優(yōu)秀(成績在80分以上為優(yōu)秀)
的志愿者中隨機抽取2名志愿者負責接待外賓,要求2人中至少有一名女志
愿者的概率.

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源: 題型:

已知向量
a
=(2,0),
b
=(1,4).
(Ⅰ)求|
a
+
b
|的值;         
(Ⅱ)若向量k
a
+
b
a
+2
b
平行,求k的值.

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源: 題型:

已知函數f(x)=(x2-3x+3)ex,x∈[-2,a],a>-2,其中e是自然對數的底數.
(1)若a<1,求函數y=f(x)的單調區(qū)間;
(2)求證:f(a)>
13
e2

(3)對于定義域為D的函數y=g(x),如果存在區(qū)間[m,n]⊆D,使得x∈[m,n]時,y=g(x)的值域是[m,n],則稱[m,n]是該函數y=g(x)的“保值區(qū)間”.設h(x)=f(x)+(x-2)ex,x∈(1,+∞),問函數y=h(x)是否存在“保值區(qū)間”?若存在,請求出一個“保值區(qū)間”; 若不存在,請說明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源: 題型:

如圖,將一副三角板拼接,使它們有公共邊BC,且使兩個三角板所在平面互相垂直,若∠BAC=∠CBD=90°,AB=AC,∠BDC=60°,BC=6.
(Ⅰ)求證:平面ABD⊥平面ACD.
(Ⅱ)求二面角A-CD-B的平面角的余弦值.
(Ⅲ)求B到平面ACD的距離.

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源: 題型:

判斷并證明函數f(x)=x+
1
x
的奇偶性.

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源: 題型:

如圖,直三棱柱ABC-A1B1C1中,D、E分別是AB,BB1的中點.
(1)證明:BC1∥平面A1CD;
(2)設AA1=AC=CB=1,AB=
2
,求三棱錐D一A1CE的體積.

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源: 題型:

隨機寫出兩個小于1的正數x,y,它們與1一起形成一個三元組(x,y,1),求這個三元組正好是鈍角三角形的三個邊的概率.

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源: 題型:

某射手進行射擊訓練,假設每次射擊擊中目標的概率為
3
5
,且每次射擊的結果互不影響,已知射手射擊了5次,求:
(1)其中只在第一、三、五次擊中目標的概率;
(2)其中恰有3次擊中目標的概率.

查看答案和解析>>

同步練習冊答案