Question

15．已知m∈R，命題p：關于實數(shù)x的方程4x²+4（m-2）x+1=0無實根；命題q：關于實數(shù)x的方程x²+mx+1=0有兩個不等的負根．
（Ⅰ）寫出一個能使命題p成立的充分不必要條件；
（Ⅱ）當命題p與命題q中恰有一個為真命題時，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）化簡p，求出成立時參數(shù)所滿足的范圍，即可寫出能使命題p成立的充分不必要條件，
（2）化簡q，命題p與命題q中恰有一個為真命題，分類討論，求出實數(shù)m的取值范圍．

解答 解：（1）命題p：△=16（m-2）²-16＜0，解得1＜m＜3，
即關于實數(shù)x的方程4x²+4（m-2）x+1=0無實根充要條件是1＜m＜3，
則能使命題p成立的充分不必要條件為1＜m＜2，（答案不唯一，{m|1＜m＜3}的真子集均可）；
（2）命題q：$\left\{\begin{array}{l}{{△}_{1}={m}^{2}-4＞0}\\{{x}_{1}+{x}_{2}=-m＜0}\\{{x}_{1}{x}_{2}=1＞0}\end{array}\right.$，解得m＞2
命題p：1＜m＜3
∵命題p與命題q中恰有一個為真命題
①p真q假時，$\left\{\begin{array}{l}{m＞2}\\{m≥3或m≤1}\end{array}\right.$，∴m≥3．
②p假q真時，$\left\{\begin{array}{l}{m≤2}\\{1＜m＜3}\end{array}\right.$，∴1＜m≤2．
∴m的取值范圍是{m|1＜m≤2或m≥3}．

點評 本題考查復合命題真假的判斷條件．解決此類問題，要轉化成判斷構成復合命題的兩個命題的真假．同時考查學生的邏輯思維能力．