Question

4．在二項式${（{\sqrt{x}+\frac{1}{{2•\root{6}{x}}}}）^n}$的展開式中，前三項的系數(shù)成等差數(shù)列，把展開式中所有的項重新排成一列，有理項都互不相鄰的概率為（　�。�

• A． $\frac{1}{6}$
• B． $\frac{1}{4}$
• C． $\frac{1}{3}$
• D． $\frac{5}{12}$

Answer 1

分析 利用二項式定理的通項公式、等差數(shù)列的性質可得n，再利用通項公式可得有理項與無理項的項數(shù)．利用“插空法”及其排列公式即可得出概率．

解答 解：在二項式${（{\sqrt{x}+\frac{1}{{2•\root{6}{x}}}}）^n}$的展開式中，前三項分別為：$（\sqrt{x}）^{n}$，${∁}_{n}^{1}（\sqrt{x}）^{n-1}（\frac{1}{2\root{6}{x}}）$即$\frac{1}{2}n{x}^{\frac{3n-4}{6}}$，${∁}_{n}^{2}（\sqrt{x}）^{n-2}（\frac{1}{2\root{6}{x}}）^{2}$即$\frac{n（n-1）}{8}{x}^{\frac{3n-8}{6}}$．
∵前三項的系數(shù)成等差數(shù)列，
∴$2×\frac{1}{2}n$=1+$\frac{n（n-1）}{8}$，
化為：n²-9n+8=0，
解得n=8．
由通項公式可得：T_r+1=${∁}_{8}^{r}$$（\sqrt{x}）^{8-r}$$（\frac{1}{2\root{6}{x}}）^{r}$=$（\frac{1}{2}）^{r}$${∁}_{8}^{r}$${x}^{4-\frac{2r}{3}}$．
可知當r=0，3，6時，為有理項，其余6項為無理項．
∴有理項都互不相鄰的概率p=$\frac{{A}_{7}^{3}{A}_{6}^{6}}{{A}_{9}^{9}}$=$\frac{5}{12}$．
故選：D．

點評 本題考查了二項式定理的應用、等差數(shù)列的性質、“插空法”、排列公式、概率計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．