Question

11．已知函數(shù)f（x）=log₂（2^x+1）．
（1）若函數(shù)g（x）的圖象與f（x）的圖象關(guān)于y軸對稱，求y=f（x）+g（x）的值域；
（2）記f^-1（x）為函數(shù)，f（x）的反函數(shù)，若關(guān)于x的方程f^-1（x）=m+f（x）在[1，2]上有解，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出g（x），再求y=f（x）+g（x）的值域；
（2）先求得反函數(shù)f^-1（x）=log₂（2^x-1）（x＞0），構(gòu)造函數(shù)，利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)的值域．

解答 解：（1）∵函數(shù)g（x）的圖象與f（x）的圖象關(guān)于y軸對稱，
∴g（x）=log₂（2^-x+1）．
y=f（x）+g（x）=log₂（2^x+1）+log₂（2^-x+1）=log₂（2+2^-x+2^x）≥2，
∴y=f（x）+g（x）的值域?yàn)閇2，+∞）；
（2）∵f（x）=log₂（2^x+1），
∴f^-1（x）=log₂（2^x-1）（x＞0），
∴m=f^-1（x）-f（x）=log₂（2^x-1）-log₂（2^x+1）=log₂$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$=log₂（1-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$）
當(dāng)1≤x≤2時，$\frac{2}{5}$≤$\frac{2}{{2}^{x}+1}$≤$\frac{2}{3}$，
∴$\frac{1}{3}$≤1-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$≤$\frac{3}{5}$，
∴m的取值范圍是[log₂$\frac{1}{3}$，log₂$\frac{3}{5}$]．

點(diǎn)評 本題主要考查函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用，主要涉及了函數(shù)的值域以及構(gòu)造函數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)等問題，還考查了轉(zhuǎn)化思想和構(gòu)造轉(zhuǎn)化函數(shù)的能力．