Question

1．已知向量$\overrightarrow{a}$=（sinx，$\frac{3}{4}$），$\overrightarrow$=（cosx，-1）．
（1）當(dāng)$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow$時，求$\frac{sin2x+2si{n}^{2}x}{1-tanx}$的值；
（2）設(shè)函數(shù)f（x）=2（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）•$\overrightarrow$，求當(dāng)0≤x≤$\frac{π}{2}$時，函數(shù)f（x）的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由向量共線的坐標(biāo)表示列式求出tanx的值，利用弦化切進(jìn)行求解即可．
（2）求出函數(shù)f（x）的表達(dá)式，結(jié)合輔助角公式進(jìn)行化簡，利用三角函數(shù)的單調(diào)性和值域的關(guān)系進(jìn)行求解．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{a}$=（sinx，$\frac{3}{4}$），$\overrightarrow$=（cosx，-1），且$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow$，
∴$-sinx-\frac{3}{4}cosx=0$，
∴tanx=-$\frac{3}{4}$．
則$\frac{sin2x+2si{n}^{2}x}{1-tanx}$=$\frac{2sinxcosx+2sin^2x}{1+\frac{3}{4}}$=$\frac{2sinxcosx+2sin^2x}{\frac{7}{4}（sin^2x+cos^2x）}$=$\frac{2tanx+2tan^2x}{\frac{7}{4}（1+tan^2x）}$=$\frac{-\frac{3}{4}×2+2×（-\frac{3}{4}）^{2}}{\frac{7}{4}[1+（-\frac{3}{4}）^{2}]}$=$\frac{24}{175}$；
（2）設(shè)函數(shù)f（x）=2（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）•$\overrightarrow$=2（sinx+cosx，-$\frac{1}{4}$）•（cosx，-1）
=2[（sinx+cosx）cosx+$\frac{1}{4}$]
=2sinxcosx+2cos²x+$\frac{1}{2}$=sin2x+cos2x+$\frac{3}{2}$
=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）+$\frac{3}{2}$，
∵0≤x≤$\frac{π}{2}$時，
∴0≤2x≤π，$\frac{π}{4}$≤2x+$\frac{π}{4}$≤$\frac{3π}{4}$，
∴$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤sin（2x+$\frac{π}{4}$）≤1，
則1≤$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）≤$\sqrt{2}$
則$\frac{5}{2}$≤$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）+$\frac{3}{2}$≤$\sqrt{2}$+$\frac{3}{2}$，
即函數(shù)f（x）的取值范圍是[$\frac{5}{2}$，$\sqrt{2}$+$\frac{3}{2}$]

點評 本題主要考查平面向量的應(yīng)用，結(jié)合向量平行的坐標(biāo)公式以及三角函數(shù)的輔助角公式進(jìn)行化簡是解決本題的關(guān)鍵．考查學(xué)生的運(yùn)算能力．