Question

11．橢圓$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1內(nèi)有兩點(diǎn)A（2，2），B（3，0），P為橢圓上任意一點(diǎn)，則|PA|+$\frac{5}{3}$|PB|的最小值為（　　）

• A． $\frac{25}{3}$
• B． $\frac{25}{6}$
• C． 4
• D． $\frac{19}{3}$

Answer 1

分析 由橢圓的方程便可得出橢圓的離心率e=$\frac{3}{5}$，可設(shè)P到右準(zhǔn)線的距離為d，則有$d=\frac{5}{3}|PB|$，從而得到$|PA|+\frac{5}{3}|PB|=|PA|+d$，而由圖形可看出點(diǎn)A到右準(zhǔn)線的距離為|PA|+d的最小值，這樣便可得出|PA|+$\frac{5}{3}|PB|$的最小值．

解答 解：根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程知，a=5，b=4，c=3，∴離心率$e=\frac{3}{5}$，如圖，設(shè)P到右準(zhǔn)線的距離為d，則：
$\frac{|PB|}sk64kqi$=$\frac{3}{5}$；
∴$d=\frac{5}{3}|PB|$；
∴$|PA|+\frac{5}{3}|PB|=|PA|+d$；
由圖可看出，過(guò)A作右準(zhǔn)線的垂線，當(dāng)與橢圓的交點(diǎn)為P點(diǎn)時(shí)，|PA|+d=$\frac{25}{3}-2=\frac{19}{3}$最��；
即$|PA|+\frac{5}{3}|PB|$的最小值為$\frac{19}{3}$．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，橢圓的離心率及計(jì)算公式，橢圓的準(zhǔn)線及準(zhǔn)線方程，以及橢圓的第二定義，數(shù)形結(jié)合解題的方法．