Question

6．已知命題p：（m-t-1）（m-t+1）≤0，t∈R．命題q：函數f（x）=x³+mx²+（m+$\frac{4}{3}$）x+6在（-∞，+∞）上存在極值，若￢p是￢q的必要不充分條件，求t的取值范圍．

Answer 1

分析 分別求出關于p，q的m的范圍，結合￢p是￢q的必要不充分條件，從而求出t的范圍即可．

解答 解：對于p：∵（m-t-1）（m-t+1）≤0，
∴t-1＜m＜t+1，
對于q：∵函數f（x）=x³+mx²+（m+$\frac{4}{3}$）x+6存在極值，
∴f′（x）=3x²+2mx+m+$\frac{4}{3}$=0，它有兩個不相等的實根，
∴△=4m²-12m-16＞0
解得m＜-1或m＞4；
若￢p是￢q的必要不充分條件，
即q是p的必要不充分條件，即p⇒q，
∴t+1≤-1或t-1≥4，
解得：t≤-2或t≥5．

點評 本題考查了充分必要條件，考查函數的單調性、極值問題，是一道基礎題．