Question

17．建造一個容積為8m³、深2m的長方體無蓋水池，池底任一邊長度不得小于1m，如果池底和池壁的造價分別為120元/m²和80元/m²，總造價y（元）關于底面一邊x（m）的函數解析式為f（x）．
（1）求函數f（x）的解析式，并求出該函數的定義域；
（2）x取何值時，總造價最低？

Answer 1

分析 （1）通過水池的容積及深度可知水池底面面積為4m²，利用“總造價=池底造價+池壁造價”計算即得結論；
（2）利用基本不等式可知x+$\frac{4}{x}$≥4當且僅當x=2時取等號，進而計算可得結論．

解答 解：（1）依題意可知水池底面面積為$\frac{8}{2}$=4m²，
則f（x）=120×4+80×2（2x+2×$\frac{4}{x}$）
=480+320（x+$\frac{4}{x}$），
∵池底任一邊長度不得小于1m，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x≥1}\\{\frac{4}{x}≥1}\end{array}\right.$，即該函數的定義域為{x|1≤x≤4}；
（2）∵x+$\frac{4}{x}$≥2$\sqrt{x•\frac{4}{x}}$=4，當且僅當x=$\frac{4}{x}$即x=2時取等號，
∴當x=2時總造價最低為480+320（2+$\frac{4}{2}$）=1760元．

點評 本題考查函數模型的選擇與應用，考查分析問題、解決問題的能力，注意解題方法的積累，屬于基礎題．