Question

2．已知函數(shù)f（x）=log₂（x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$），且f（1-a）+f（2+b）=0，又x≥1時恒有0≤x²+ax+b≤x³-1，則a•b的值等于-2．

Answer 1

分析 先根據(jù)y=x³-1為增函數(shù)，求出y的最小值，得到a+b+1=0，即b+2=1-a，根據(jù)f（1-a）+f（2+b）=0，得到f（1-a）=0，代入求出a的值，再求出b的值，問題得以解決．

解答 解：∵x≥1時恒有0≤x²+ax+b≤x³-1，
∴a+b+1=0，
∴b+2=1-a，
∵f（1-a）+f（2+b）=0，
∴2f（1-a）=0，
∴f（1-a）=0，
∵f（x）=log₂（x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$），
∴l(xiāng)og₂（1-a+$\sqrt{（1-a）^{2}+1}$）=0，
∴1-a+$\sqrt{（1-a）^{2}+1}$=1，
∴$\sqrt{（1-a）^{2}+1}$=a，
∴（1-a）²+1=a²，
解得a=1，
∴b=-1-a=-2，
∴a•b=-2，
故答案為：-2

點評 本題考查了函數(shù)恒成立的問題，以及對數(shù)函數(shù)的性質，以及函數(shù)值的求法，屬于中檔題．