Question

12．已知函數(shù)f（x）=2^x，且f（a）=3，函數(shù)g（x）=2^ax-$\frac{3}{2}$•9^x．
（1）求常數(shù)a的值，并求g（x）的解析式；
（2）當x∈[-2，1]時，求g（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）由f（a）=3，化為2^a=3，解得a=log₂3．可得2^ax=（2^a）^x=3^x．即可得出g（x）．
（2）由x∈[-2，1]，可得3^x∈$[\frac{1}{9}，3]$．g（x）=$-\frac{3}{2}•（{3}^{x}）^{2}$+3^x=$-\frac{3}{2}$$（{3}^{x}-\frac{1}{3}）^{2}$+$\frac{1}{6}$，再利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答 解：（1）∵f（a）=3，∴2^a=3，解得a=log₂3．
∴2^ax=（2^a）^x=3^x．
函數(shù)g（x）=2^ax-$\frac{3}{2}$•9^x=3^x-$\frac{3}{2}•{9}^{x}$．
（2）∵x∈[-2，1]，∴3^x∈$[\frac{1}{9}，3]$．
g（x）=$-\frac{3}{2}•（{3}^{x}）^{2}$+3^x=$-\frac{3}{2}$$（{3}^{x}-\frac{1}{3}）^{2}$+$\frac{1}{6}$，
∴當3^x=$\frac{1}{3}$時，g（x）取得最大值$\frac{1}{6}$．
又g（-2）=$\frac{5}{54}$，g（1）=-$\frac{21}{2}$，
∴函數(shù)g（x）的最小值為：-$\frac{21}{2}$．
∴g（x）的值域是$[-\frac{21}{2}，\frac{1}{6}]$．

點評 本題考查了指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、二次函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．