Question

5．兩個(gè)半徑分別為r₁，r₂的圓M，N，公共弦AB長(zhǎng)為3，如圖所示，則$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AN}•\overrightarrow{AB}$=9．

Answer 1

分析 可連接MN，從而可知MN⊥AB，且平分AB，設(shè)MN與AB交于O，則有$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AN}•\overrightarrow{AB}$=$2\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AB}$，根據(jù)$|\overrightarrow{AO}|=\frac{3}{2}，|\overrightarrow{AB}|=3$便可求出$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AB}$，從而得出答案．

解答 解：如圖，連接MN，交AB于O，則MN⊥AB，且MN把AB平分；

∴$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AN}•\overrightarrow{AB}$=$（\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OM}）•\overrightarrow{AB}+（\overrightarrow{A0}+\overrightarrow{ON}）•\overrightarrow{AB}$
=$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AB}+0+\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AB}+0$
=$2\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AB}=2×\frac{3}{2}×3=9$．
故答案為：9．

點(diǎn)評(píng) 考查兩圓心的連線(xiàn)垂直且平分相交弦，向量加法的幾何意義，向量垂直的充要條件，以及向量數(shù)量積的計(jì)算公式．