Question

1．已知O為△ABC的外心，|$\overrightarrow{AB}$|=16，|$\overrightarrow{AC}$|=10$\sqrt{2}$，若$\overrightarrow{AO}$=x$\overrightarrow{AB}$+y$\overrightarrow{AC}$，且32x+25y=25，則∠B=（　　）

• A． $\frac{π}{3}$
• B． $\frac{π}{4}$
• C． $\frac{π}{6}$
• D． $\frac{π}{12}$

Answer 1

分析 由O為△ABC的外心及$|\overrightarrow{AB}|，|\overrightarrow{AC}|$的值便可得出$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AO}=128$，$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AO}=100$，這樣在$\overrightarrow{AO}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC}$的兩邊同乘以向量$\overrightarrow{AO}$，再由32x+25y=25便可得出${\overrightarrow{AO}}^{2}=100$，從而得出△ABC的外接圓半徑r=10，這樣根據(jù)正弦定理即可求出$sinB=\frac{\sqrt{2}}{2}$，并可判斷∠B為銳角，這樣即可求出∠B的值．

解答 解：如圖，
由$\overrightarrow{AO}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC}$得：${\overrightarrow{AO}}^{2}=x\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AO}+y\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AO}$；
取AB中點(diǎn)D，連接OD，∵O為△ABC的外心；
∴OD⊥AB；
∴$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AO}=|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AO}|cos∠DAO$=$|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AD}|=|\overrightarrow{AB}|（\frac{1}{2}|\overrightarrow{AB}|）=16×8=128$；
同理，$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AO}=|\overrightarrow{AC}|（\frac{1}{2}|\overrightarrow{AC}|）=100$；
∴${\overrightarrow{AO}}^{2}=128x+100y=4（32x+25y）$；
又32x+25y=25；
∴${\overrightarrow{AO}}^{2}=100$；
∴$|\overrightarrow{AO}|=10$；
即△ABC的外接圓半徑r=10；
∴由正弦定理，$\frac{|\overrightarrow{AC}|}{sinB}=2r$；
∴$\frac{10\sqrt{2}}{sinB}=20$；
∴$sinB=\frac{\sqrt{2}}{2}$；
∵$|\overrightarrow{AB}|＞|\overrightarrow{AC}|$；
∴∠B不是最大的角；
∴$∠B=\frac{π}{4}$．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 考查三角形外心的概念，向量數(shù)量積的運(yùn)算及計(jì)算公式，余弦函數(shù)的定義，以及正弦定理，三角形外接圓半徑的求法，已知三角函數(shù)值求角，以及大邊對(duì)大角定理．