Question

8．已知橢圓E的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且經(jīng)過兩點(diǎn)M（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）和N（1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）．
（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)F為橢圓的右焦點(diǎn)，過點(diǎn)F作斜率為1的直線l交橢圓于AB兩點(diǎn)，以AB為直徑的圓O交y軸于P、Q兩點(diǎn)，劣弧長PQ記為d，求$\fracmqhwt2n{|AB|}$的值．

Answer 1

分析 （1）通過設(shè)橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，代入兩點(diǎn)M（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）和N（1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）計(jì)算即得結(jié)論；
（2）通過（1）可知直線l方程為x-y-1=0，并與橢圓方程聯(lián)立可知A（0，-1）、B（$\frac{4}{3}$，$\frac{1}{3}$），進(jìn)而可求出P（0，-1）、Q（0，$\frac{1}{3}$），計(jì)算即得結(jié)論．

解答 解：（1）設(shè)橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，
則$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2{a}^{2}}+\frac{3}{4^{2}}=1}\\{\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{1}{2^{2}}=1}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}=2}\\{^{2}=1}\end{array}\right.$，
∴橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；
（2）由（1）可知F（1，0），則直線l方程為：x-y-1=0，
聯(lián)立直線與橢圓方程，消去y整理可知：3x²-4x=0，
解得：x=0或x=$\frac{4}{3}$，
不妨記A（0，-1）、B（$\frac{4}{3}$，$\frac{1}{3}$），則線段AB的中點(diǎn)T（$\frac{2}{3}$，-$\frac{1}{3}$），
∴AT=$\sqrt{（0-\frac{2}{3}）^{2}+（-1+\frac{1}{3}）^{2}}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
設(shè)Q（0，y），則QT=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，即$\sqrt{（0-\frac{2}{3}）^{2}+（y+\frac{1}{3}）^{2}}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
解得：y=$\frac{1}{3}$或y=-1，
記P（0，-1）、Q（0，$\frac{1}{3}$），則d=$\frac{1}{4}$•2π•AT，
∴$\fracfhypgyr{|AB|}$=$\frac{\frac{π}{2}AT}{2AT}$=$\frac{π}{4}$．

點(diǎn)評 本題考查直線與圓錐曲線的關(guān)系，考查數(shù)形結(jié)合能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．