分析 設(shè)S到底面的距離SH=h,連接AH,BH,CH延長交對(duì)邊于D,E,F(xiàn),連接SD,SE,SF,由SA,SB,SC兩兩垂直,可得H為垂心,由線面垂直的判斷和性質(zhì),可得3個(gè)側(cè)面與底面所成的角,再由解直角三角形,可得h的關(guān)系式,運(yùn)用等積法,可得h,進(jìn)而得到體積.
解答 解:設(shè)三棱錐S-ABC三側(cè)棱長分別為SA=x,SB=y,SC=z,
S到底面的距離SH=h,
連接AH,BH,CH延長交對(duì)邊于D,E,F(xiàn),
連接SD,SE,SF,
由SA,SB,SC兩兩垂直,可得H為垂心,
由線面垂直的性質(zhì)定理,SD⊥BC,SE⊥AC,SF⊥AB,
即有∠SDA=30°,∠SEB=45°,∠SFC=60°,
在直角三角形SAD中,SA=x=$\frac{h}{cos30°}$,
同理可得SB=y=$\frac{h}{cos45°}$,SC=z=$\frac{h}{cos60°}$,
由體積公式可得,VS-ABC=VB-SAC,
即為$\frac{1}{3}$•$\frac{1}{2}$xyz=$\frac{1}{3}$•h•$\sqrt{6}$,
代入化簡(jiǎn)可得h=$\frac{\sqrt{6}}{2}$,
則三棱錐的體積為$\frac{1}{3}$•h•$\sqrt{6}$=1.
點(diǎn)評(píng) 本題考查空間二面角的求法和棱錐體積的計(jì)算,考查線面位置關(guān)系,考查運(yùn)算能力,屬于中檔題.
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A. | [$\frac{π}{4}$,$\frac{π}{3}$]∪[$\frac{2π}{3}$,$\frac{3π}{4}$] | B. | [$\frac{π}{6}$,$\frac{π}{3}$]∪[$\frac{2π}{3}$,$\frac{5π}{6}$] | C. | [$\frac{π}{6}$,$\frac{π}{4}$]∪[$\frac{4π}{3}$,$\frac{5π}{6}$] | D. | [$\frac{π}{4}$,$\frac{π}{3}$]∪[$\frac{2π}{3}$,$\frac{5π}{5}$] |
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