19.三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直,3個(gè)側(cè)面與底面所成的角分別為30°、45°、60°,底面面積為$\sqrt{6}$,求三棱錐的體積.

分析 設(shè)S到底面的距離SH=h,連接AH,BH,CH延長交對(duì)邊于D,E,F(xiàn),連接SD,SE,SF,由SA,SB,SC兩兩垂直,可得H為垂心,由線面垂直的判斷和性質(zhì),可得3個(gè)側(cè)面與底面所成的角,再由解直角三角形,可得h的關(guān)系式,運(yùn)用等積法,可得h,進(jìn)而得到體積.

解答 解:設(shè)三棱錐S-ABC三側(cè)棱長分別為SA=x,SB=y,SC=z,
S到底面的距離SH=h,
連接AH,BH,CH延長交對(duì)邊于D,E,F(xiàn),
連接SD,SE,SF,
由SA,SB,SC兩兩垂直,可得H為垂心,
由線面垂直的性質(zhì)定理,SD⊥BC,SE⊥AC,SF⊥AB,
即有∠SDA=30°,∠SEB=45°,∠SFC=60°,
在直角三角形SAD中,SA=x=$\frac{h}{cos30°}$,
同理可得SB=y=$\frac{h}{cos45°}$,SC=z=$\frac{h}{cos60°}$,
由體積公式可得,VS-ABC=VB-SAC,
即為$\frac{1}{3}$•$\frac{1}{2}$xyz=$\frac{1}{3}$•h•$\sqrt{6}$,
代入化簡(jiǎn)可得h=$\frac{\sqrt{6}}{2}$,
則三棱錐的體積為$\frac{1}{3}$•h•$\sqrt{6}$=1.

點(diǎn)評(píng) 本題考查空間二面角的求法和棱錐體積的計(jì)算,考查線面位置關(guān)系,考查運(yùn)算能力,屬于中檔題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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19.已知函數(shù)f(x)=ax|ax-2|,(a>0,a≠1)
(1)解方程f(x)=3;
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(I)求m+n的值;
(Ⅱ)設(shè)h(x)=$\left\{\begin{array}{l}{f(x)+1,x≤0}\\{g(x)+\frac{1}{2}x,x>0}\end{array}\right.$,試求h(x)在x∈[-2,1]時(shí)的最大值.

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7.如圖,在矩形ABCD中,AB=4,BC=3,沿對(duì)角線AC把矩形折成二面角D-AC-B,并且D點(diǎn)在平面ABC內(nèi)的射影落在AB上.
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14.如圖,正方體ABCD=A1B1C1D1,棱長為a,E、F分別為AB、BC上的點(diǎn),且AE=BF=x.
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4.(1)已知0<x<y<3,求$\frac{1}{x}+\frac{1}{y-x}+\frac{1}{3-y}$的最小值
(2)若0<x<y<a,不等式$\frac{1}{x^2}+\frac{1}{{{{(y-x)}^2}}}+\frac{1}{{{{(a-y)}^2}}}$≥9恒成立,求a的最大值.

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11.已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1(a>0,b>0)的離心率e∈[$\sqrt{2}$,2],則其漸近線的傾斜角的取值范圍是( 。
A.[$\frac{π}{4}$,$\frac{π}{3}$]∪[$\frac{2π}{3}$,$\frac{3π}{4}$]B.[$\frac{π}{6}$,$\frac{π}{3}$]∪[$\frac{2π}{3}$,$\frac{5π}{6}$]C.[$\frac{π}{6}$,$\frac{π}{4}$]∪[$\frac{4π}{3}$,$\frac{5π}{6}$]D.[$\frac{π}{4}$,$\frac{π}{3}$]∪[$\frac{2π}{3}$,$\frac{5π}{5}$]

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8.已知橢圓E的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上,且經(jīng)過兩點(diǎn)M(-$\frac{\sqrt{2}}{2}$,$\frac{\sqrt{3}}{2}$)和N(1,$\frac{\sqrt{2}}{2}$).
(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)F為橢圓的右焦點(diǎn),過點(diǎn)F作斜率為1的直線l交橢圓于AB兩點(diǎn),以AB為直徑的圓O交y軸于P、Q兩點(diǎn),劣弧長PQ記為d,求$\fracjhlle6c{|AB|}$的值.

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9.若點(diǎn)A(0,-1),點(diǎn)B在直線y=-3上,點(diǎn)M滿足,$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{MB}•\overrightarrow{BA}$,$\overrightarrow{MB}$∥$\overrightarrow{OA}$,點(diǎn)M的軌跡為曲線C.
(Ⅰ)求曲線C的方程;
(Ⅱ)點(diǎn)P為曲線C上的動(dòng)點(diǎn),直線l為曲線C在點(diǎn)P處的切線,求O到直線l的距離的最小值.

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