Question

16．設(shè)拋物線C：y²=4x，過定點（m，0）的直線l與拋物線C交于A、B兩點，連結(jié)A及拋物線頂點O的直線與準(zhǔn)線交于點B′，直線BO與準(zhǔn)線交于點A′，且AA′與BB′均平行于x軸．
（1）求m的值；
（2）求四邊形ABB′A′面積的最小值．

Answer 1

分析 （1）通過設(shè)直線l方程：x=ty+m，并與拋物線方程聯(lián)立，利用A'、O、B三點共線，計算即得結(jié)論；
（2）依題意可知A′（-1，y₁）、B′（-1，y₂），利用S_{四邊形ABB′A′}=$\frac{1}{2}$（AA′+BB′）h化簡計算即得結(jié)論．

解答 解：（1）設(shè)$A（\frac{{{y_1}^2}}{4}，{y_1}），B（\frac{{{y_2}^2}}{4}，{y_2}）$，
設(shè)直線l方程：x=ty+m，并與拋物線方程聯(lián)立，
消去x整理得：y²-4ty-4m=0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{y_1}+{y_2}=4t\\{y_1}{y_2}=-4m\end{array}\right.$，
依題意A'，O，B三點共線，
∴k_AO=k_BO，即$\frac{{y}_{1}}{-1}$=$\frac{{y}_{2}}{\frac{{{y}_{2}}^{2}}{4}}$，
∴y₁y₂=-4，
∴m=1；
（2）依題意A′（-1，y₁），B′（-1，y₂），
S_{四邊形ABB′A′}=$\frac{1}{2}$（AA′+BB′）h
=$\frac{1}{2}$（$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{4}$+1+$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{4}$+1）|y₁-y₂|
=$\frac{1}{2}（\frac{{{y_1}^2+{y_2}^2}}{4}+2）\sqrt{{{（{y_1}+{y_2}）}^2}-4{y_1}{y_2}}$
=$8（{t^2}+1）\sqrt{{t^2}+1}≥8$，
當(dāng)t=0時等號成立，此時l_AB：x=1．

點評 本題考查直線與圓錐曲線的關(guān)系，考查運算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．