Question

16．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=2sinθ，θ∈[0，2π）．
（Ⅰ）求曲線C的直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）在曲線C上求一點D，使它到直線l：$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}t+\sqrt{3}}\\{y=-3t+2}\end{array}\right.$（t為參數(shù)，t∈R）的距離最短，并求出點D的直角坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （I）極坐標(biāo)方程兩邊同乘ρ，得出曲線C的直角坐標(biāo)方程；
（II）求出直線l的普通方程和取出C的參數(shù)方程，代入點到直線的距離公式，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求出距離最小值，得出對應(yīng)的D點坐標(biāo)．

解答 解：（I）∵ρ=2sinθ，∴ρ²=2ρsinθ，
∴曲線C的直角坐標(biāo)方程為x²+y²=2y．
（II）直線l的普通方程為$\sqrt{3}$x+y-5=0．
曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=cosα}\\{y=1+sinα}\end{array}\right.$（α為參數(shù)）．
∴設(shè)D（cosα，1+sinα）．
則D到直線l的距離d=$\frac{|\sqrt{3}cosα+sinα-4|}{2}$=2-sin（$α+\frac{π}{3}$）．
∴當(dāng)α=$\frac{π}{6}$時，d取得最小值1．
此時D點坐標(biāo)為（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$）．

點評 本題考查了極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)的方程，參數(shù)的幾何意義及應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．