Question

4．我校舉行環(huán)保知識(shí)大獎(jiǎng)賽，比賽分初賽和決賽兩部分，初賽采用選一題答一題的方式進(jìn)行．每位選手最多有5次答題機(jī)會(huì)．選手累計(jì)答對(duì)3題或答錯(cuò)三題終止初賽的比賽．答對(duì)三題直接進(jìn)入決賽，答錯(cuò)3題則被淘汰．已知選手甲連續(xù)兩次答錯(cuò)的概率為$\frac{1}{9}$（已知甲回答每個(gè)問(wèn)題的正確率相同，并且相互之間沒(méi)有影響）
（1）求選手甲回答一個(gè)問(wèn)題的正確率；
（2）求選手甲進(jìn)入決賽的概率；
（3）設(shè)選手甲在初賽中答題個(gè)數(shù)為X，試寫(xiě)出X的分布列，并求甲在初賽中平均答題個(gè)數(shù)．

Answer 1

分析 （1）設(shè)選手甲任答一題正確的概率為p，根據(jù)答題連續(xù)兩次答錯(cuò)的概率列出關(guān)于P的方程，得到甲答對(duì)題目的概率；
（2）選手甲能夠進(jìn)入決賽包括三種種情況，這三種情況是互斥的，由互斥事件的概率公式計(jì)算得到答案；
（3）由題意知X可取3，4，5，結(jié)合變量對(duì)應(yīng)的事件和獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式寫(xiě)出變量的概率，寫(xiě)出分布列做出期望．

解答 解：（1）設(shè)甲答對(duì)一個(gè)問(wèn)題的正確為P₁，則（1-P₁）²=$\frac{1}{9}$，解得P₁=$\frac{2}{3}$．
（2）甲答完三題進(jìn)入決賽的概率為${（\frac{2}{3}）^3}=\frac{8}{27}$，
甲答完四題進(jìn)入決賽的概率為$C_3^2{（\frac{2}{3}）^2}•（\frac{1}{3}）•（\frac{2}{3}）=\frac{8}{27}$，
甲答完五題進(jìn)入決賽的概率為$C_4^2{（\frac{2}{3}）^2}•{（\frac{1}{3}）^2}•（\frac{2}{3}）=\frac{16}{81}$，
∴甲可以進(jìn)入決定的概率為P=$\frac{8}{27}+\frac{8}{27}+\frac{16}{81}=\frac{64}{81}$．
（3）X的分布列為：

X	3	4	5
P	$\frac{1}{3}$	$\frac{10}{27}$	$\frac{8}{27}$

∴EX=3×$\frac{1}{3}$+4×$\frac{10}{27}$+5×$\frac{8}{27}$=$\frac{107}{27}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等可能事件的概率，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和期望，考查獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式，本題是一個(gè)綜合題目，考查的知識(shí)點(diǎn)比較全面，在應(yīng)用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式時(shí)，注意數(shù)字運(yùn)算不要出錯(cuò)．