Question

2．已知四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，邊長(zhǎng)為4，PA=PD=$\sqrt{13}$，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，在四棱錐內(nèi)放一個(gè)球，要使它的體積最大，則球的半徑為（　�。�

• A． 3
• B． 2
• C． 1
• D． $\frac{\sqrt{2}}{2}$

Answer 1

分析 作出棱錐直觀圖，取AD，BC中點(diǎn)E，F(xiàn)，則棱錐內(nèi)切球的半徑為△PEF的內(nèi)切圓的半徑．

解答 解：取AD中點(diǎn)E，連結(jié)PE，∵PA=PD，∴PE⊥AD，∴PE=$\sqrt{P{A}^{2}-A{E}^{2}}$=3．
∵側(cè)面PAD⊥底面ABCD，側(cè)面PAD∩底面ABCD=AD，PE?平面PAD，PE⊥AD，
∴PE⊥平面ABCD．
取BC中點(diǎn)F，連結(jié)PF，EF，則PF⊥BC，EF=AB=4，∴PF=$\sqrt{P{B}^{2}-B{F}^{2}}$=5．
∴Rt△PEF的內(nèi)切圓的半徑即為四棱錐內(nèi)切球的半徑，
設(shè)Rt△PEF的內(nèi)切圓的半徑為r，由切線長(zhǎng)定理得3-r+4-r=5，解得r=1．
故選C．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查棱錐的性質(zhì)以及內(nèi)切球的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)棱錐的內(nèi)切球與△PEF的內(nèi)切圓的關(guān)系是關(guān)鍵．