Question

17．已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的右焦點為F，其右準線與x軸的交點為A，若在橢圓上存在點P滿足PF=AF，則$\frac{c^2}{a^2}$-2（lnc-lna）的范圍是（1，$\frac{1}{4}$+2ln2]．

Answer 1

分析 求出橢圓的右焦點和右準線，求得AF的長，再由橢圓的性質(zhì)，可得a-c≤|PF|≤a+c，進而得到a≤2c，a，c的關系，令t=$\frac{c}{a}$（$\frac{1}{2}$≤t＜1），則f（t）=t²-2lnt，運用導數(shù)判斷單調(diào)性，即可得到所求范圍．

解答 解：橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的右焦點F（c，0），右準線為x=$\frac{{a}^{2}}{c}$，
由題意|PF|=|AF|=$\frac{{a}^{2}}{c}$-c，
由橢圓的性質(zhì)可得a-c≤|PF|≤a+c，
即有a-c≤$\frac{{a}^{2}}{c}$-c≤a+c，
即有c＜a+c且a-c≤c，
則有a≤2c，
即為$\frac{1}{2}$≤$\frac{c}{a}$＜1，
則$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$-2（lnc-lna）=（$\frac{c}{a}$）²-2ln$\frac{c}{a}$，
令t=$\frac{c}{a}$（$\frac{1}{2}$≤t＜1），
則f（t）=t²-2lnt，
由f′（t）=2t-$\frac{2}{t}$＜0在[$\frac{1}{2}$，1）成立，
則有f（t）在[$\frac{1}{2}$，1]遞減，
故f（t）的范圍為（1，$\frac{1}{4}$+2ln2]．
故答案為：（1，$\frac{1}{4}$+2ln2]．

點評 本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，主要考查橢圓的準線方程的運用，橢圓上一點到焦點的距離的最值，同時考查導數(shù)的運用：判斷單調(diào)性，屬于中檔題．