Question

7．已知函數(shù)f（x）=ax+（1-a）lnx+$\frac{1}{x}$，（a∈R）．
（1）當(dāng)a=0時(shí)，求f（x）的極值；
（2）當(dāng)a＜0時(shí)，求f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可求函數(shù)f（x）的極值；（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，從而確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

解答 解：a=0時(shí)，f（x）=lnx+$\frac{1}{x}$，
∴f′（x）=$\frac{x-1}{{x}^{2}}$，
令f′（x）=0，得x=1，
又f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），
f′（x），f（x）隨x的變化情況如下表：

x	（0，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	-	0	+
f（x）		極小值

所以x=1時(shí)，f（x）的極小值為1；
（2）f′（x）=a+$\frac{1-a}{x}$-$\frac{1}{{x}^{2}}$=$\frac{（ax+1）（x-1）}{{x}^{2}}$（x＞0，a＜0），
-1≤a＜0時(shí)，-$\frac{1}{a}$≥1，
令f′（x）＞0，解得：1＜x＜-$\frac{1}{a}$，
令f′（x）＜0，解得：x＜1或x＞-$\frac{1}{a}$，
∴f（x）在（0，1）遞減，在（1，-$\frac{1}{a}$）遞增，在（-$\frac{1}{a}$，+∞）遞減；
a＜-1時(shí)，-$\frac{1}{a}$＜1，
令f′（x）＞0，解得：-$\frac{1}{a}$＜x＜1，
令f′（x）＜0，解得：x＜-$\frac{1}{a}$或x＞1，
∴f（x）在（0，-$\frac{1}{a}$）遞減，在（-$\frac{1}{a}$，1）遞增，在（1，+∞）遞減．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的單調(diào)性與極值，考查學(xué)生的計(jì)算能力，考察分類討論，是一道中檔題．