Question

9．如圖，在多面體EF-ABCD中，ABCD，ABEF均為直角梯形，∠ABE=∠ABC=$\frac{π}{2}$，DCEF為平行四邊形，平面DCEF⊥平面ABCD．
（1）求證：DF⊥平面ABCD；
（2）若△ABD是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，且BF與平面ABCD所成角的正切值為1，求點(diǎn)E到平面BDF的距離．

Answer 1

分析 （1）由∠ABE=∠ABC=$\frac{π}{2}$可得AB⊥平面BCE，于是EF⊥平面BCE，從而EF⊥CE，故四邊形CDFE為矩形，于是D⊥CD，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)得出DF⊥平面ABCD；
（2）連接BD，DE，則∠FBD為BF與平面ABCD所成角，故而得出DF=BD=2，計(jì)算出BC，CD，根據(jù)V_B-DEF=V_E-BDF列方程即可得出點(diǎn)E到平面BDF的距離．

解答 證明：（1）∵$∠ABE=∠ABC=\frac{π}{2}$，
∴AB⊥BE，AB⊥BC，又BE?平面BCE，BC?平面BCE，BE∩BC=B，
∴AB⊥平面BCE，∵EF∥AB，
∴EF⊥平面BCE，∵CE?平面BCE，
∴EF⊥CE．又四邊形CDFE是平行四邊形，
∴四邊形CDFE是矩形，
∴DF⊥DC．
又平面DCEF⊥平面ABCD，且平面ABCD∩平面CDFE=CD，DF?平面CDFE，
∴DF⊥平面ABCD．
（2）連接BD，DE．
∵△ABD是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，四邊形ABCD是直角梯形，∠ABC=$\frac{π}{2}$，
∴$BD=2，CD=1，BC=\sqrt{3}$．
由（1）得DF⊥平面ABCD，∴∠FBD為BF與平面ABCD所成角的角，
∴tan∠FBD=1，即DF=BD=2．
∴V_B-DEF=$\frac{1}{3}{S}_{△DEF}•BC$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×2×\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
設(shè)E到平面BDF的距離為d，則V_E-BDF=$\frac{1}{3}{S}_{△BDF}•d$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×2×d$=$\frac{2d}{3}$
∵V_B-DEF=V_E-BDF，∴$\frac{2d}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，解得$d=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線面垂直的判定，空間距離的計(jì)算，屬于中檔題．