Question

20．已知正三棱錐S-ABC的六條棱長都為$\frac{4\sqrt{6}}{3}$，則它的外接球的體積為（　　）

• A． $\frac{32π}{3}$
• B． $\frac{32\sqrt{3}π}{3}$
• C． $\frac{64π}{3}$
• D． $\frac{64\sqrt{2}π}{3}$

Answer 1

分析 由正三棱錐S-ABC的所有棱長均為$\frac{4\sqrt{6}}{3}$，所以此三棱錐一定可以放在棱長為$\frac{4\sqrt{3}}{3}$的正方體中，所以此四面體的外接球即為此正方體的外接球，由此能求出此四面體的外接球的半徑，再代入球的體積公式計算即可．

解答 解：∵正三棱錐S-ABC的所有棱長都為$\frac{4\sqrt{6}}{3}$，
∴此三棱錐一定可以放在正方體中，
∴我們可以在正方體中尋找此三棱錐．
∴正方體的棱長為$\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{4\sqrt{6}}{3}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴此四面體的外接球即為此正方體的外接球，
∵外接球的直徑為正方體的對角線長，
∴外接球的半徑為R=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{3}$×$\frac{4\sqrt{3}}{3}$=2，
∴球的體積為V=$\frac{4}{3}$πR³=$\frac{32}{3}$π，
故選：A．

點評 本題考查幾何體的接體問題，考查了空間想象能力，其解答的關(guān)鍵是根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征，求出接體幾何元素的數(shù)據(jù)，代入球的體積公式分別求解．