Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x

a-x2

-

1

2

對(duì)于任意x∈[-1，1]，都有f（x）≤0成立，則實(shí)數(shù)a的范圍

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：其他不等式的解法

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：問題可化為4ax²≤4x⁴+1恒成立，當(dāng)x=0時(shí)，上式顯然成立，當(dāng)x∈[-1，0）∪（0，1]時(shí)，4ax²≤4x⁴+1可化為a≤

4x4+1

4x2

，只需求

4x4+1

4x2

在x∈[-1，0）∪（0，1]時(shí)的最小值即可，由基本不等式可得．

解答： 解：由f（x）≤0可得x²（a-x²）≤

1

4

，即4ax²≤4x⁴+1，
當(dāng)x=0時(shí)，上式顯然成立，
當(dāng)x∈[-1，0）∪（0，1]時(shí)，
4ax²≤4x⁴+1可化為a≤

4x4+1

4x2

，
故只需求

4x4+1

4x2

在x∈[-1，0）∪（0，1]時(shí)的最小值即可，
由基本不等式可得

4x4+1

4x2

=x²+

1

4x2

≥2

x2• 1 4x2

=1，
當(dāng)且僅當(dāng)x²=

1

4x2

即x=±

2

2

時(shí)取等號(hào)，
∴

4x4+1

4x2

在x∈[-1，0）∪（0，1]時(shí)的最小值為1，
故a≤1
故答案為：a≤1

點(diǎn)評(píng)：本題考查不等式恒成立問題，轉(zhuǎn)化為基本不等式求最值是解決問題的關(guān)鍵，屬中檔題．